Encontre o número de zeros, incluindo multiplicidades, de f(z)=z^4+3 z^3+6 dentro do disco z||z|<2.
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o número de zeros da função $ f(z) = z^{4} + 3z^{3} + 6 $ dentro do disco $ { z , | , |z| < 2 } $. Para isso, vamos usar o Teorema de Rouché, que nos ajuda a contar o número de zeros de uma função dentro de uma determinada região no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, identificamos duas partes na função $ f(z) $. Podemos escrever $ f(z) = g(z) + h(z) $, onde $ g(z) = z^{4} $ e $ h(z) = 3z^{3} + 6 $.

Passo 3

Agora, precisamos comparar os módulos de $ g(z) $ e $ h(z) $ no contorno do disco, ou seja, quando $ |z| = 2 $. Calcularemos $ |g(z)| $ e $ |h(z)| $ para determinar qual parte domina.

Passo 4

Calculando $ |g(z)| $:
|g(z)|

Passo 5

Calculando $ |h(z)| $:
|h(z)|
Aqui, usamos a desigualdade triangular que diz que $ |a + b| \leq |a| + |b| $.

Passo 6

Observamos que $ |h(z)| = 30 $ é maior que $ |g(z)| = 16 $ no contorno $ |z| = 2 $. Isso significa que a função $ h(z) $ domina $ g(z) $ nesse contorno.

Passo 7

De acordo com o Teorema de Rouché, se $ |h(z)| > |g(z)| $ no contorno, então $ g(z) + h(z) $ tem o mesmo número de zeros que $ h(z) $ dentro do disco. Como $ h(z) = 3z^{3} + 6 $ é um polinômio de grau 3, ele tem 3 zeros dentro de $ |z| < 2 $.

Resposta

A resposta correta é a opção d) 3.

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