Encontre o valor de
integral0^2 pi d theta1+3 cos ^2 theta
a) -2 pi
b) -pi
c) pi
d) 2 pi
e) 3 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de $ 0 $ a $ 2\pi $ da função $ \frac{1}{1 + 3 \cos^2 \theta} $ em relação a $ \theta $. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas técnicas de integração e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função que estamos integrando: $ \frac{1}{1 + 3 \cos^2 \theta} $. Essa função envolve o cosseno ao quadrado, então vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão. Sabemos que:
11 + 3 cos^2 theta
Substituindo isso na nossa função, temos:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por $ \frac{1}{2} $:
11 + 3 ( 1 + cos 2theta2 ) = 11 + 32 + 32 cos 2theta = 152 + 32 cos 2theta

Passo 3

Agora, a integral fica:
integral0^2pi 25 + 3 cos 2theta , dtheta
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula padrão para integrar funções da forma $ \frac{1}{a + b \cos x} $, que é:
1a + b cos x
No nosso caso, temos $ a = 5 $ e $ b = 3 $, mas a variável é $ 2\theta $. No entanto, como o período da função coseno é $ 2\pi $, a substituição não altera o resultado integral no intervalo de $ 0 $ a $ 2\pi $.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
integral0^2pi 25 + 3 cos 2theta , dtheta = 2 times 2piraiz5^2 - 3^2 = 2 times 2piraiz25 - 9 = 2 times 2piraiz16 = 2 times 2pi4
Simplificando:
2 times pi2 = pi

Resposta

A resposta correta é c) $ \pi $.

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