Encontre o valor de
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de $ 0 $ a $ 2\pi $ da função $ \frac{1}{1 + 3 \cos^2 \theta} $ em relação a $ \theta $. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas técnicas de integração e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a função que estamos integrando: $ \frac{1}{1 + 3 \cos^2 \theta} $. Essa função envolve o cosseno ao quadrado, então vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão. Sabemos que:
Substituindo isso na nossa função, temos:
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por $ \frac{1}{2} $:
Passo 3
Agora, a integral fica:
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula padrão para integrar funções da forma $ \frac{1}{a + b \cos x} $, que é:
No nosso caso, temos $ a = 5 $ e $ b = 3 $, mas a variável é $ 2\theta $. No entanto, como o período da função coseno é $ 2\pi $, a substituição não altera o resultado integral no intervalo de $ 0 $ a $ 2\pi $.
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Resposta
A resposta correta é c) $ \pi $.