Encontre a série de Taylor de
em torno de
. Qual o raio do disco de convergência?
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(z)=(1−z)/(z−3) em torno de z₀=1 e o raio de convergência, usando basicamente séries de potências e a ideia de série geométrica.
Passo 2
Definimos a nova variável w = z − 1 para centrar a expansão em z₀=1. Assim, z = 1 + w e queremos uma série em potências de w válida para |w| < R.
Passo 3
Reescrevendo f em função de w:
Passo 4
Reconhecemos a forma de série geométrica
para |u|<1. Aqui temos u = w/2, então
Passo 5
Trocando o índice k=n+1, obtemos a série de Taylor em torno de z=1:
Passo 6
O raio de convergência é a distância de z₀=1 à singularidade mais próxima (z=3), logo R=|3−1|=2.