Encontre a série de Taylor de f(z)=1-zz-3 em torno de z0=1. Qual o raio do disco de convergência?

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(z)=(1−z)/(z−3) em torno de z₀=1 e o raio de convergência, usando basicamente séries de potências e a ideia de série geométrica.

Passo 2

Definimos a nova variável w = z − 1 para centrar a expansão em z₀=1. Assim, z = 1 + w e queremos uma série em potências de w válida para |w| < R.

Passo 3

Reescrevendo f em função de w:
f(z)=1−zz−3=1−(1+w)(1+w)−3=−ww−2=w2(1−w/2)

Passo 4

Reconhecemos a forma de série geométrica 1/(1−u)=sumn=0^infty u^n para |u|<1. Aqui temos u = w/2, então
11−w/2=sumn=0^inftyl(w2r)^n, f(z)=w2sumn=0^inftyl(w2r)^n=sumn=0^inftyw^n+12^n+1

Passo 5

Trocando o índice k=n+1, obtemos a série de Taylor em torno de z=1:
f(z)=sumk=1^infty(z−1)^k2^k

Passo 6

O raio de convergência é a distância de z₀=1 à singularidade mais próxima (z=3), logo R=|3−1|=2.

Resposta

f(z)=sumk=1^infty(z−1)^k2^k, R=2

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