Encontre o resíduo de f(z)=pi cot pi zz^2 em z0= 0.

Passo 1

O problema pede o cálculo do resíduo da função f(z)=picot(pi z)z^2 no ponto z=0. Vamos usar a expansão de Laurent em torno de z=0 para encontrar o coeficiente de 1/z.

Passo 2

Para extrair a expansão, recordamos a série de Taylor de cot(w) em w=0: cot(w)=1w-w3-w^345-dots. Fazendo w=pi z, obtemos:
cot(pi z)=1pi z-pi z3-pi^3z^345-dots

Passo 3

Multiplicando por pi e dividindo por z^2, a expansão de f(z) se torna:
f(z)=picot(pi z)z^2=1/z-tfracpi^2z3-tfracpi^4z^345-dotsz^2=1z^3-pi^23z-pi^4z45-dots

Passo 4

O resíduo em z=0 é o coeficiente do termo 1/z na expansão de Laurent, que aqui é -tfracpi^23.

Resposta

-\tfrac{\pi^{2}}{3}

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