Encontre a série de Taylor da função f(x)=x^3+3 x^2+4 x+9 em torno do ponto x=-2.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=x^3+3x^2+4x+9 em torno de x0=-2. Como f é um polinômio de grau três, sua expansão de Taylor em torno de x0 vai até a ordem três. Vamos usar a fórmula
f(x)=sumn=0^3f^(n)(x0)n!,(x-x0)^n

Passo 2

Calcular as derivadas necessárias:
f'(x)=3x^2+6x+4,
f''(x)=6x+6,
f'''(x)=6

Passo 3

Avaliar cada derivada em x0=-2 e obter os coeficientes an=tfracf^(n)(-2)n!:
f(-2)=(-2)^3+3(-2)^2+4(-2)+9=-8+12-8+9=5,
f'(-2)=3cdot4-12+4=4Longrightarrow a1=41!=4,
f''(-2)=6cdot(-2)+6=-12+6=-6Longrightarrow a2=-62!=-3,
f'''(-2)=6Longrightarrow a3=63!=1

Passo 4

Montar a série de Taylor em torno de x0=-2:
f(x)=a0+a1(x+2)+a2(x+2)^2+a3(x+2)^3

Resposta

f(x)=5 ;+;4,(x+2);-;3,(x+2)^2;+;(x+2)^3

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