Exercício 12. Verdadeiro ou falso (justifique):
"Se A=z in C|1<|z|<2 p: A C é um polinômio, então
integralgamma p(z) d z=0 para toda curva fechada e suave por partes em A"

Passo 1

O enunciado define
A=,zinCmid 1<|z|<2,
e diz que pcolon AtoC é um polinômio. Queremos saber se
integralgammap(z),dz=0
para toda curva fechada e suave por partes gamma contida em A.
O conteúdo usado será o Teorema de Cauchy–Goursat e/ou a existência de primitiva para funções holomorfas.

Passo 2

Como p é polinômio, ela se expande em monômios:
p(z)=sumk=0^nak,z^k
Cada monômio z^k é holomorfo em A e possui primitiva
Fk(z)=z^k+1k+1,
que também é holomorfa em A.

Passo 3

Pela linearidade da integral e pelo fato de que toda curva fechada em A
integralgammaz^k,dz=0 (ou pelo Teorema de Cauchy, já que z^k é holomorfa em A), segue:
integralgammap(z),dz =sumk=0^nakintegralgammaz^k,dz =0

Resposta

Verdadeiro.

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