Exercício 12. Verdadeiro ou falso (justifique):
"Se
é um polinômio, então
"Se
Passo 1
O enunciado define
,
e diz que é um polinômio. Queremos saber se
para toda curva fechada e suave por partes contida em
.
O conteúdo usado será o Teorema de Cauchy–Goursat e/ou a existência de primitiva para funções holomorfas.
e diz que
para toda curva fechada e suave por partes
O conteúdo usado será o Teorema de Cauchy–Goursat e/ou a existência de primitiva para funções holomorfas.
Passo 2
Como
é polinômio, ela se expande em monômios:
Cada monômio
é holomorfo em
e possui primitiva
que também é holomorfa em
.
Passo 3
Pela linearidade da integral e pelo fato de que toda curva fechada em
dá
(ou pelo Teorema de Cauchy, já que
é holomorfa em
), segue:
Resposta
Verdadeiro.