Find the area of the region enclosed by one loop of the curve.
r=4 sin 3 theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região fechada por uma “folha” (loop) da curva polar
r = 4sin(3theta)
O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula
A = 12integralalpha^betar(theta)^2,dtheta

Passo 2

Para determinar os limites alpha e beta de uma folha, note que r=0 quando
sin(3theta)=0Longrightarrow3theta = kpi,;kinZ
Assim, as raízes consecutivas ocorrem em theta=0 e theta=pi/3. Nesse intervalo sin(3theta)>=0, então de theta=0 até theta=pi/3 temos exatamente uma folha.

Passo 3

Montamos a integral da área de uma folha usando
A = 12 integral0^pi/3 l(4sin(3theta)r)^2 dtheta = 12integral0^pi/316sin^2(3theta),dtheta =8integral0^pi/3sin^2(3theta),dtheta

Passo 4

Usamos a identidade de redução
sin^2u = 1-cos(2u)2
com u=3theta. Logo
8integral0^pi/3sin^2(3theta),dtheta =8integral0^pi/31-cos(6theta)2,dtheta =4integral0^pi/3l(1-cos(6theta)r),dtheta

Passo 5

Calculando a integral:
4integral0^pi/3l(1-cos(6theta)r),dtheta =4l[theta - 16sin(6theta)r]0^pi/3 =4l(pi3-0r) = 4pi3

Resposta

A área de uma folha da curva r=4sin(3theta) é
boxed4pi3

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