Exercício 14. Seja f: De<a C uma função analítica no disco aberto De<a tal que |f^prime(z)| <= m para todo z in De<a. Mostre que
|f(z2)-f(z1)| <= m|z2-z1| para todo z1, z2 in De<a

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f:De<atoC analítica num disco aberto De<a e que satisfaz lvert f'(z)rvert<= m para todo zinDe<a. O que queremos mostrar é que f é Lipschitziana com constante m, isto é,
lvert f(z2) - f(z1)rvert <= m,lvert z2-z1rvert
para quaisquer z1,z2inDe<a. Vamos usar integração de linha e o teorema fundamental do cálculo para funções analíticas.

Passo 2

Por analiticidade de f, para qualquer curva suave gamma de z1 a z2 contida em De<a vale o teorema fundamental:
f(z2) - f(z1) ;=; integralgamma f'(z),dz

Passo 3

Escolhemos gamma como o segmento de reta ligando z1 a z2, parametrizado por
gamma(t) = z1 + t,(z2-z1), tin[0,1]
Então gamma'(t)=z2-z1 e
f(z2) - f(z1) =integral0^1 f'(gamma(t)),gamma'(t),dt =(z2-z1)integral0^1 f'(gamma(t)),dt

Passo 4

Aplicando a desigualdade triangular e a hipótese lvert f'(z)rvert<= m, obtemos
lvert f(z2) - f(z1)rvert <= lvert z2-z1rvert integral0^1 lvert f'(gamma(t))rvert,dt <= lvert z2-z1rvert integral0^1 m,dt = m,lvert z2-z1rvert

Resposta

lvert f(z2) - f(z1)rvert <= m,lvert z2-z1rvert

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