Exercício 14. Seja
uma função analítica no disco aberto
tal que
para todo
. Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
analítica num disco aberto
e que satisfaz
para todo
. O que queremos mostrar é que
é Lipschitziana com constante
, isto é,
para quaisquer
. Vamos usar integração de linha e o teorema fundamental do cálculo para funções analíticas.
Passo 2
Por analiticidade de
, para qualquer curva suave
de
a
contida em
vale o teorema fundamental:
Passo 3
Escolhemos
como o segmento de reta ligando
a
, parametrizado por
Então
e
Passo 4
Aplicando a desigualdade triangular e a hipótese
, obtemos