a) Encontre a série de Taylor da função f(x)=\operatorname{sen}(x) em torno do ponto x=\frac{\pi}{2}. Qual é o raio de convergência dessa série?
b) Encontre a série de Maclaurin da função f(x)=\operatorname{sen}(x). Utilize essa expressão, para deduzir uma série que represente a função g(x)=\operatorname{sen}\left(8 x^{3}\right).
c) Obtenha uma expressão para
\int \operatorname{sen}\left(8 x^{3}\right) d x
sob a forma de uma série de potências.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e nos dá a função \operatorname{sen}(x).
  • Pergunta (a): “Encontre a série de Taylor de \operatorname{sen}(x) em torno do ponto \;x=\frac{\pi}{2}\;.” Também pede o raio de convergência dessa série.
  • Pergunta (b): “Encontre a série de Maclaurin de \operatorname{sen}(x).” Em seguida, usar essa série para deduzir uma série que represente g(x)=\operatorname{sen}\bigl(8x^{3}\bigr).
  • Pergunta (c): “Obtenha uma expressão para \displaystyle\int \operatorname{sen}\bigl(8x^{3}\bigr)\,dx sob a forma de série de potências.”
Informações relevantes dadas explicitamente:
  • A função a ser expandida é \operatorname{sen}(x).
  • Os pontos de expansão são \;x=\frac{\pi}{2}\; (para Taylor) e \;x=0\; (Maclaurin).
  • Para (b) devemos usar a série de Maclaurin para obter a série de g(x)=\operatorname{sen}(8x^3).
  • Para (c) integrar termo a termo a série de g(x) (dentro do raio de convergência).

Passo 2

Relembre a fórmula geral de Taylor: se f é infinitamente diferenciável em torno de a, sua série de Taylor centrada em a é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^{n},
onde f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em x=a. Cada termo reúne: a derivada de ordem n em a, dividida por n!, multiplicada por (x-a)^n. Essa é a ferramenta que usamos para (a).
Agora vamos aplicar essa fórmula a f(x)=\operatorname{sen}(x) com a=\frac{\pi}{2}. Primeiro calcule as derivadas de \operatorname{sen}(x) e avalie em a. A sequência de derivadas é periódica de período 4:
\operatorname{sen}(x),\quad \cos(x),\quad -\operatorname{sen}(x),\quad -\cos(x),\quad \operatorname{sen}(x),\ldots
Avaliar em a=\frac{\pi}{2}:
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,\qquad -\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1,\qquad -\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,
e o padrão se repete. Portanto, para n inteiro:
  • Se n\equiv 0\pmod{2} então f^{(n)}\!\left(\frac{\pi}{2}\right) é +1 ou -1 conforme n/2 é par ou ímpar.
  • Se n é ímpar então f^{(n)}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Mais explicitamente, para n=2k (k inteiro não-negativo)
f^{(2k)}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=(-1)^k,
e para n=2k+1
f^{(2k+1)}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.

Passo 3

Substituindo esses valores na fórmula de Taylor obtemos apenas potências pares de (x-\frac{\pi}{2}). Logo
\operatorname{sen}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{2k}.
Uma maneira rápida de entender isso é notar a identidade de translação trigonométrica:
\operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}\!\bigl((x-\tfrac{\pi}{2})+\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos\!\bigl(x-\tfrac{\pi}{2}\bigr),
e a série de Taylor de \cos(y) em y=0 é \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}y^{2k}. Substituindo y=x-\tfrac{\pi}{2} dá exatamente a série acima.

Passo 4

Agora o raio de convergência da série pedida em (a). Observação teórica: \operatorname{sen}(x) é uma função inteira (analítica em todo \mathbb{C}), portanto sua série de Taylor em qualquer ponto converge para todo x\in\mathbb{R}; isto é, o raio de convergência é infinito. Se preferir ver via coeficientes: os coeficientes são \frac{(-1)^k}{(2k)!} cujas fatoriais fazem a razão entre termos tender a zero rapidamente, então pelo teste da razão a série converge para todo x.

Passo 5

Passamos para (b): série de Maclaurin (caso a=0). Aplicando a fórmula de Taylor em a=0 (ou lembrando a série conhecida), as derivadas de \operatorname{sen} em 0 fazem com que apenas as potências ímpares apareçam. A série de Maclaurin é
\operatorname{sen}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\,x^{2n+1}.
Escrevo os primeiros termos para ficar visual:
\operatorname{sen}(x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots
Também aqui o raio de convergência é infinito (novamente por \,n! no denominador ou porque \operatorname{sen} é inteira).

Passo 6

Usamos essa série para obter g(x)=\operatorname{sen}\bigl(8x^{3}\bigr). Basta fazer a substituição x\mapsto 8x^{3} na série de Maclaurin:
\operatorname{sen}\bigl(8x^{3}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\bigl(8x^{3}\bigr)^{2n+1}.
Desenvolvendo as potências:
\bigl(8x^{3}\bigr)^{2n+1}=8^{2n+1}\,x^{6n+3},
portanto
\operatorname{sen}\bigl(8x^{3}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\,8^{2n+1}}{(2n+1)!}\;x^{6n+3}.
O raio de convergência continua sendo infinito (substituição em série com raio infinito preserva isso).

Passo 7

Finalmente (c): integração termo a termo da série obtida para g(x). Se uma série de potências converge uniformemente em compactos do intervalo onde desejamos integrar (aqui vale em todo \mathbb{R}), podemos integrar termo a termo. Integramos cada monômio x^{6n+3}:
\int x^{6n+3}\,dx=\frac{x^{6n+4}}{6n+4}.
Logo
\int \operatorname{sen}\bigl(8x^{3}\bigr)\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\,8^{2n+1}}{(2n+1)!}\cdot\frac{x^{6n+4}}{6n+4}+C,
onde C é a constante de integração. Essa é a série de potências pedida para a primitiva de \operatorname{sen}(8x^{3}).

Resposta

(a) \operatorname{sen}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{2k}
Raio de convergência: \infty
(b) \operatorname{sen}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\,x^{2n+1}
\operatorname{sen}\bigl(8x^{3}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\,8^{2n+1}}{(2n+1)!}\;x^{6n+3}
(c) \int \operatorname{sen}\bigl(8x^{3}\bigr)\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\,8^{2n+1}}{(2n+1)!\,(6n+4)}\,x^{6n+4}+C

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