a) Encontre a série de Taylor da função
em torno do ponto
. Qual é o raio de convergência dessa série?
b) Encontre a série de Maclaurin da função
. Utilize essa expressão, para deduzir uma série que represente a função
.
c) Obtenha uma expressão para
sob a forma de uma série de potências.
b) Encontre a série de Maclaurin da função
c) Obtenha uma expressão para
Passo 1
O enunciado pede três coisas e nos dá a função
.
- Pergunta (a): “Encontre a série de Taylor de
em torno do ponto .” Também pede o raio de convergência dessa série. - Pergunta (b): “Encontre a série de Maclaurin de
.” Em seguida, usar essa série para deduzir uma série que represente . - Pergunta (c): “Obtenha uma expressão para
sob a forma de série de potências.”
Informações relevantes dadas explicitamente:
- A função a ser expandida é
. - Os pontos de expansão são
(para Taylor) e (Maclaurin). - Para (b) devemos usar a série de Maclaurin para obter a série de
. - Para (c) integrar termo a termo a série de
(dentro do raio de convergência).
Passo 2
Relembre a fórmula geral de Taylor: se
é infinitamente diferenciável em torno de
, sua série de Taylor centrada em
é
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
. Cada termo reúne: a derivada de ordem
em
, dividida por
, multiplicada por
. Essa é a ferramenta que usamos para (a).
Agora vamos aplicar essa fórmula a
com
. Primeiro calcule as derivadas de
e avalie em
. A sequência de derivadas é periódica de período
:
Avaliar em
:
e o padrão se repete. Portanto, para
inteiro:
- Se
então é ou conforme é par ou ímpar. - Se
é ímpar então .
Mais explicitamente, para
(k inteiro não-negativo)
e para
Passo 3
Substituindo esses valores na fórmula de Taylor obtemos apenas potências pares de
. Logo
Uma maneira rápida de entender isso é notar a identidade de translação trigonométrica:
e a série de Taylor de
em
é
. Substituindo
dá exatamente a série acima.
Passo 4
Agora o raio de convergência da série pedida em (a). Observação teórica:
é uma função inteira (analítica em todo
), portanto sua série de Taylor em qualquer ponto converge para todo
; isto é, o raio de convergência é infinito. Se preferir ver via coeficientes: os coeficientes são
cujas fatoriais fazem a razão entre termos tender a zero rapidamente, então pelo teste da razão a série converge para todo
.
Passo 5
Passamos para (b): série de Maclaurin (caso
). Aplicando a fórmula de Taylor em
(ou lembrando a série conhecida), as derivadas de
em
fazem com que apenas as potências ímpares apareçam. A série de Maclaurin é
Escrevo os primeiros termos para ficar visual:
Também aqui o raio de convergência é infinito (novamente por
no denominador ou porque
é inteira).
Passo 6
Usamos essa série para obter
. Basta fazer a substituição
na série de Maclaurin:
Desenvolvendo as potências:
portanto
O raio de convergência continua sendo infinito (substituição em série com raio infinito preserva isso).
Passo 7
Finalmente (c): integração termo a termo da série obtida para
. Se uma série de potências converge uniformemente em compactos do intervalo onde desejamos integrar (aqui vale em todo
), podemos integrar termo a termo. Integramos cada monômio
:
Logo
onde
é a constante de integração. Essa é a série de potências pedida para a primitiva de
.
Resposta
(a)
Raio de convergência:
(b)
(c)