Encontre a série de Taylor da função f(x)=e^2 x ao redor do ponto x=1.

Passo 1

Resumo: A função é f(x)=e^2x e queremos expandi-la em série de Taylor em torno de x=1. Aqui vamos usar a definição de série de Taylor e calcular derivadas de exponenciais.

Passo 2

Para montar a série de Taylor em torno de x0=1, usamos a fórmula:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(x0)n!,(x-x0)^n

Passo 3

Precisamos calcular a n-ésima derivada de f. Como a derivada de e^2x traz um fator 2 a cada passo, temos:
f^(n)(x)=2^n e^2x

Passo 4

Agora avaliamos essa derivada em x=1:
f^(n)(1)=2^n e^2

Passo 5

Substituindo na série de Taylor:
f(x)=sumn=0^infty2^n e^2n!,(x-1)^n

Passo 6

Podemos fatorar e^2 para deixar mais elegante:
f(x)=e^2sumn=0^infty2^nn!,(x-1)^n

Resposta

e^2x=e^2sumn=0^infty2^nn!,(x-1)^n

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