Encontre a Série de Taylor para a função
em
Encontre também o valor de
(quatro termos) usando a série encontrada. (mostrar resolução).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a Série de Taylor de
em torno de
; (2) usar essa série truncada em quatro termos para aproximar
(ou seja,
). Informações dadas: a função é
e o ponto de expansão é
. Vamos mostrar cada passo com calma e sem pular etapas.
Passo 2
Apresento a fórmula geral da Série de Taylor de uma função
com derivadas de todas as ordens no ponto
:
Explicando essa fórmula:
é a n-ésima derivada de
avaliada em
;
é o fatorial de
(por exemplo
); e
é o termo de potência que mede quão longe estamos do ponto de expansão. A série é a soma de todos esses termos para
.
Passo 3
Agora calculo as derivadas de
e as avalio em
. A propriedade fundamental é que todas as derivadas de
são
novamente:
Portanto, avaliando em
,
Isso simplifica muito os coeficientes da série: cada coeficiente será
.
Passo 4
Substituindo na fórmula geral, obtemos a Série de Taylor de
em torno de
:
Podemos também escrever os primeiros termos explícitos:
Aqui cada termo é
multiplicando a potência
dividida por
.
Passo 5
Para aproximar
usando quatro termos, truncamos a série nos termos com
. A aproximação de quatro termos é:
Calculo
. Então os termos internos ficam:
Passo 6
Somando os quatro primeiros termos dentro dos colchetes:
Agora multiplicamos por
. Usarei a aproximação padrão
. Para facilitar sem calculadora, faço a multiplicação em partes:
Calculo separadamente:
Somando:
Arredondando razoavelmente, obtemos a aproximação
usando quatro termos da série.
Passo 7
Rápida verificação do erro (opcional, mas útil): o termo de resto da fórmula de Taylor (forma de Lagrange) para truncar após
é
para algum
entre
e
. Como
e
é crescente, podemos majorar
por
Usando
e
,
o que explica por que nossa aproximação difere do valor exato por cerca de
.