Encontre a Série de Taylor para a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} em \mathrm{X}_{0}=1 Encontre também o valor de e^{1,1} \operatorname{com} 4 (quatro termos) usando a série encontrada. (mostrar resolução).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a Série de Taylor de \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} em torno de \mathrm{X}_{0}=1; (2) usar essa série truncada em quatro termos para aproximar \mathrm{e}^{1,1} (ou seja, \mathrm{e}^{1,1}=\mathrm{e}^{1,1}). Informações dadas: a função é \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} e o ponto de expansão é x_{0}=1. Vamos mostrar cada passo com calma e sem pular etapas.

Passo 2

Apresento a fórmula geral da Série de Taylor de uma função f com derivadas de todas as ordens no ponto x_{0}:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}.
Explicando essa fórmula: f^{(n)}(x_{0}) é a n-ésima derivada de f avaliada em x_{0}; n! é o fatorial de n (por exemplo 3!=3\cdot2\cdot1=6); e (x-x_{0})^{n} é o termo de potência que mede quão longe estamos do ponto de expansão. A série é a soma de todos esses termos para n=0,1,2,\dots.

Passo 3

Agora calculo as derivadas de f(x)=\mathrm{e}^{x} e as avalio em x_{0}=1. A propriedade fundamental é que todas as derivadas de \mathrm{e}^{x} são \mathrm{e}^{x} novamente:
f^{(n)}(x)=\mathrm{e}^{x}\quad\text{para todo }n\ge 0.
Portanto, avaliando em x_{0}=1,
f^{(n)}(1)=\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}\quad\text{para todo }n\ge0.
Isso simplifica muito os coeficientes da série: cada coeficiente será \dfrac{\mathrm{e}}{n!}.

Passo 4

Substituindo na fórmula geral, obtemos a Série de Taylor de \mathrm{e}^{x} em torno de x_{0}=1:
\mathrm{e}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\mathrm{e}}{n!}(x-1)^{n}.
Podemos também escrever os primeiros termos explícitos:
\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^{2}}{2!}+\frac{(x-1)^{3}}{3!}+\cdots\right].
Aqui cada termo é \mathrm{e} multiplicando a potência (x-1)^{n} dividida por n!.

Passo 5

Para aproximar \mathrm{e}^{1,1} usando quatro termos, truncamos a série nos termos com n=0,1,2,3. A aproximação de quatro termos é:
\mathrm{e}^{1,1}\approx \mathrm{e}\left[1+(1,1-1)+\frac{(1,1-1)^{2}}{2!}+\frac{(1,1-1)^{3}}{3!}\right].
Calculo (1,1-1)=0,1. Então os termos internos ficam:
1,\quad 0,1,\quad \frac{0,1^{2}}{2!}=\frac{0,01}{2}=0,005,\quad \frac{0,1^{3}}{3!}=\frac{0,001}{6}\approx 0,0001666667.

Passo 6

Somando os quatro primeiros termos dentro dos colchetes:
1+0,1+0,005+0,0001666667=1,1051666667.
Agora multiplicamos por \mathrm{e}. Usarei a aproximação padrão \mathrm{e}\approx 2,718281828. Para facilitar sem calculadora, faço a multiplicação em partes:
\mathrm{e}\cdot 1,1051666667 \approx 2,718281828\cdot(1+0,1051666667).
Calculo separadamente:
2,718281828\cdot 1 = 2,718281828,
2,718281828\cdot 0,1051666667 \approx 0,2718281828 + 0,01359140914 + 0,00045304697 \approx 0,28587263891.
Somando:
2,718281828 + 0,28587263891 \approx 3,00415446691.
Arredondando razoavelmente, obtemos a aproximação
\mathrm{e}^{1,1}\approx 3,004154467
usando quatro termos da série.

Passo 7

Rápida verificação do erro (opcional, mas útil): o termo de resto da fórmula de Taylor (forma de Lagrange) para truncar após n=3 é
R_{3}(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-1)^{4}
para algum \xi entre 1 e 1,1. Como f^{(4)}(t)=\mathrm{e}^{t} e \mathrm{e}^{t} é crescente, podemos majorar |R_{3}(1,1)| por
|R_{3}(1,1)|\le \frac{\mathrm{e}^{1,1}}{4!}(0,1)^{4}.
Usando \mathrm{e}^{1,1}\approx 3,00417 e 4!=24,
|R_{3}(1,1)|\lesssim \frac{3,00417}{24}\cdot 10^{-4}\approx 1,25\cdot 10^{-5},
o que explica por que nossa aproximação difere do valor exato por cerca de 1{,}16\cdot10^{-5}.

Resposta

\mathrm{e}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\mathrm{e}}{n!}(x-1)^{n}=\mathrm{e}\left[1+(x-1)+\frac{(x-1)^{2}}{2!}+\frac{(x-1)^{3}}{3!}+\cdots\right]
\mathrm{e}^{1,1}\approx 3,004154467

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