Resolva:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e observações iniciais:
- É uma equação diferencial de segunda ordem, linear, não homogênea.
- Os coeficientes multiplicam derivadas por potências de
; ao dividir por obtém-se a forma padrão. - A equação é válida para
(vamos dividir por sem problema). - Precisamos encontrar a solução geral
, isto é, a solução da homogênea mais uma solução particular da não homogênea.
Passo 2
Coloco a equação na forma padrão dividindo todos os termos por
(válido para
):
Aqui a função termo não-homogênea é
. A estratégia será: primeiro resolver a equação homogênea associada e depois achar uma solução particular usando variação de constantes (variação de parâmetros).
Passo 3
Resolvo a equação homogênea
Para este tipo de equação com potências de
(equação de Euler-Cauchy), tentamos solução do tipo
. Substituindo:
Simplificando os fatores
obtemos o polinômio característico
Resolvo
:
Logo as duas soluções independentes da homogênea são
e
. A solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa por variação de parâmetros. A ideia é procurar
onde
são duas funções a determinar. Para o método usamos as fórmulas (para a equação na forma padrão
):
-
são as soluções fundamentais (aqui ). - A Wronskiana
é
- As derivadas
e satisfazem o sistema
que leva às fórmulas fechadas
Aqui
(ver Passo 2). Vou calcular
e as derivadas necessárias para aplicar essas fórmulas.
Passo 5
Calculo as derivadas de
e
:
A Wronskiana é
Passo 6
Aplico as fórmulas para
e
com
:
Repare que as potências de
simplificaram de forma conveniente.
Passo 7
Integro para obter
e
.
Primeiro
:
Para construir uma solução particular podemos escolher
(constantes adicionadas aqui pertencem à homogênea).
Agora
:
Faço a integral
por partes (duas vezes) ou usando a fórmula conhecida. Faço por partes passo a passo:
- Tomo
, . Então , .
- Agora integro
. Faço outra vez por partes: tome , . Então , .
Substituindo de volta:
Logo
Escolhemos
para a construção de uma particular.
Passo 8
Agora montei a solução particular
Substituo
:
Faço a álgebra passo a passo:
Distribuindo o primeiro termo:
Os termos
e
cancelam, sobrando
Passo 9
A solução geral da equação (soma da homogênea com a particular) é
com
constantes arbitrárias. Essa fórmula resolve a equação para
.