Resolva:
x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 x \frac{d y}{d x}+3 y=2 x^{4} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-3x\frac{dy}{dx}+3y=2x^{4}e^{x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • É uma equação diferencial de segunda ordem, linear, não homogênea.
  • Os coeficientes multiplicam derivadas por potências de x; ao dividir por x^{2} obtém-se a forma padrão.
  • A equação é válida para x\neq 0 (vamos dividir por x^{2} sem problema).
  • Precisamos encontrar a solução geral y(x), isto é, a solução da homogênea mais uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão dividindo todos os termos por x^{2} (válido para x\neq 0):
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-\frac{3}{x}\frac{dy}{dx}+\frac{3}{x^{2}}y=2x^{2}e^{x}.
Aqui a função termo não-homogênea é g(x)=2x^{2}e^{x}. A estratégia será: primeiro resolver a equação homogênea associada e depois achar uma solução particular usando variação de constantes (variação de parâmetros).

Passo 3

Resolvo a equação homogênea
x^{2}y''-3xy'+3y=0.
Para este tipo de equação com potências de x (equação de Euler-Cauchy), tentamos solução do tipo y=x^{r}. Substituindo:
x^{2}\cdot r(r-1)x^{r-2}-3x\cdot r x^{r-1}+3x^{r}=0.
Simplificando os fatores x^{r} obtemos o polinômio característico
r(r-1)-3r+3 = r^{2}-4r+3=0.
Resolvo r^{2}-4r+3=0:
r=(4\pm\sqrt{16-12})/2=(4\pm2)/2 \implies r_{1}=3,\; r_{2}=1.
Logo as duas soluções independentes da homogênea são y_{1}(x)=x e y_{2}(x)=x^{3}. A solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}x+C_{2}x^{3},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular y_{p} da equação completa por variação de parâmetros. A ideia é procurar
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x)=u_{1}(x)x+u_{2}(x)x^{3},
onde u_{1},u_{2} são duas funções a determinar. Para o método usamos as fórmulas (para a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)):
  • y_{1},y_{2} são as soluções fundamentais (aqui y_{1}=x,\;y_{2}=x^{3}).
  • A Wronskiana W(x) é
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix}.
  • As derivadas u_{1}' e u_{2}' satisfazem o sistema
u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0,
u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=g(x),
que leva às fórmulas fechadas
u_{1}'=-\frac{g(x)\,y_{2}}{W(x)},\qquad u_{2}'=\frac{g(x)\,y_{1}}{W(x)}.
Aqui g(x)=2x^{2}e^{x} (ver Passo 2). Vou calcular W(x) e as derivadas necessárias para aplicar essas fórmulas.

Passo 5

Calculo as derivadas de y_{1} e y_{2}:
y_{1}(x)=x,\quad y_{1}'(x)=1;
y_{2}(x)=x^{3},\quad y_{2}'(x)=3x^{2}.
A Wronskiana é
W(x)=\begin{vmatrix} x & x^{3} \\\\ 1 & 3x^{2} \end{vmatrix}=x\cdot 3x^{2}-x^{3}\cdot 1=3x^{3}-x^{3}=2x^{3}.

Passo 6

Aplico as fórmulas para u_{1}' e u_{2}' com g(x)=2x^{2}e^{x}:
u_{1}'=-\frac{g(x)\,y_{2}}{W(x)}=-\frac{2x^{2}e^{x}\cdot x^{3}}{2x^{3}}=-x^{2}e^{x},
u_{2}'=\frac{g(x)\,y_{1}}{W(x)}=\frac{2x^{2}e^{x}\cdot x}{2x^{3}}=e^{x}.
Repare que as potências de x simplificaram de forma conveniente.

Passo 7

Integro para obter u_{1} e u_{2}.
Primeiro u_{2}:
u_{2}(x)=\int u_{2}'(x)\,dx=\int e^{x}\,dx=e^{x}+C_{2}^{*}.
Para construir uma solução particular podemos escolher C_{2}^{*}=0 (constantes adicionadas aqui pertencem à homogênea).
Agora u_{1}:
u_{1}(x)=-\int x^{2}e^{x}\,dx.
Faço a integral \int x^{2}e^{x}\,dx por partes (duas vezes) ou usando a fórmula conhecida. Faço por partes passo a passo:
  1. Tomo u=x^{2}, dv=e^{x}dx. Então du=2x dx, v=e^{x}.
\int x^{2}e^{x}dx = x^{2}e^{x}-\int 2x e^{x}dx.
  1. Agora integro \int 2x e^{x}dx. Faço outra vez por partes: tome u=2x, dv=e^{x}dx. Então du=2dx, v=e^{x}.
\int 2x e^{x}dx = 2x e^{x}-\int 2 e^{x}dx = 2x e^{x}-2e^{x}.
Substituindo de volta:
\int x^{2}e^{x}dx = x^{2}e^{x} - (2x e^{x}-2e^{x}) = e^{x}(x^{2}-2x+2).
Logo
u_{1}(x)=-e^{x}(x^{2}-2x+2)+C_{1}^{*}.
Escolhemos C_{1}^{*}=0 para a construção de uma particular.

Passo 8

Agora montei a solução particular
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x).
Substituo u_{1},u_{2},y_{1},y_{2}:
y_{p}(x)=\big(-e^{x}(x^{2}-2x+2)\big)\cdot x + \big(e^{x}\big)\cdot x^{3}.
Faço a álgebra passo a passo:
y_{p}(x)=-x e^{x}(x^{2}-2x+2)+x^{3}e^{x}.
Distribuindo o primeiro termo:
y_{p}(x)=-x^{3}e^{x}+2x^{2}e^{x}-2x e^{x}+x^{3}e^{x}.
Os termos -x^{3}e^{x} e +x^{3}e^{x} cancelam, sobrando
y_{p}(x)=2x^{2}e^{x}-2x e^{x}=2x e^{x}(x-1).

Passo 9

A solução geral da equação (soma da homogênea com a particular) é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}x+C_{2}x^{3}+2x e^{x}(x-1),
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias. Essa fórmula resolve a equação para x\neq 0.

Resposta

y(x)=C_{1}x+C_{2}x^{3}+2x e^{x}(x-1).

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