Encontre a Série de Taylor das funções abaixo em torno do ponto
dado. [Assuma que estas funções são analíticas em
.]
Passo 1
A questão quer a Série de Taylor de f(x)=1+x+x^2 em torno de x_0=2. O conteúdo é a definição de Série de Taylor para funções analíticas e vamos precisar da fórmula geral e do cálculo das derivadas em x_0.
Passo 2
A fórmula de Taylor de uma função f em torno de a é
Precisamos calcular f(2), f’(2), f’’(2), etc.
Passo 3
Calculando as derivadas e seus valores em x=2:
Passo 4
Como as derivadas de ordem maior que 2 são zero, a Série de Taylor truncada em n=2 já é exata. Substituindo na fórmula de Taylor ao redor de a=2, temos
Resposta
A Série de Taylor de f(x)=1+x+x^2 em torno de x_0=2 é: