Encontre a Série de Taylor das funções abaixo em torno do ponto x0 dado. [Assuma que estas funções são analíticas em x0.]
f(x)=1+x+x^2, x0=2

Passo 1

A questão quer a Série de Taylor de f(x)=1+x+x^2 em torno de x_0=2. O conteúdo é a definição de Série de Taylor para funções analíticas e vamos precisar da fórmula geral e do cálculo das derivadas em x_0.

Passo 2

A fórmula de Taylor de uma função f em torno de a é
f(x)=sumn=0^infty f^(n)(a)n!,(x-a)^n
Precisamos calcular f(2), f’(2), f’’(2), etc.

Passo 3

Calculando as derivadas e seus valores em x=2:
f(x)=1+x+x^2Rightarrow f(2)=1+2+4=7,
f'(x)=1+2xRightarrow f'(2)=1+4=5,
f''(x)=2Rightarrow f''(2)=2,
f^(n)(x)=0 para n>=3

Passo 4

Como as derivadas de ordem maior que 2 são zero, a Série de Taylor truncada em n=2 já é exata. Substituindo na fórmula de Taylor ao redor de a=2, temos
f(x)=7+5,(x-2)+22!,(x-2)^2

Resposta

A Série de Taylor de f(x)=1+x+x^2 em torno de x_0=2 é:
f(x)=7+5(x-2)+(x-2)^2

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