Esboce no plano complexo o conjunto de pontos z que satisfazem cada uma das condições abaixo.
(j)

Passo 1

O enunciado pede para desenhar no plano complexo o conjunto de pontos z tais que Re(1/z)>1/4. O tema é regiões definidas por desigualdades envolvendo função complexa inversa, e vamos precisar usar z em coordenadas reais ( z=x+iy) e extrair a parte real de 1/z.

Passo 2

Seja z=x+iy com x,yinR. Então
1/z=x-iyx^2+y^2,
e portanto
Re(1/z)=xx^2+y^2

Passo 3

A desigualdade Re(1/z)>1/4 vira
xx^2+y^2>14

Passo 4

Como x^2+y^2>0 para zneq0, multiplicamos ambos os lados:
4x>x^2+y^2Long<=ftrightarrow x^2-4x+y^2<0

Passo 5

Agora completamos o quadrado:
x^2-4x+y^2=(x-2)^2-4+y^2<0Long<=ftrightarrow(x-2)^2+y^2<4

Passo 6

Isso mostra que a região é o disco aberto de centro (2,0) e raio 2. Note que z=0 não pertence à região (aliás, está na fronteira).

Resposta

O conjunto é o disco aberto de centro em (2,0) e raio 2, isto é zinC:|z-2|<2.

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