Encontre a Série de Taylor das funções abaixo em torno do ponto
dado. [Assuma que estas funções são analíticas em
.]
Passo 1
O enunciado pede a expansão de Taylor de
em torno de
. Como a função é polinomial (logo analítica), podemos usar a fórmula de Taylor
Para isso, precisamos calcular as derivadas de
até ordem 2 e avaliá-las em
.
Passo 2
Vamos derivar a função:
Derivando uma vez:
Derivando de novo:
Para ordens
, temos
pois é polinômio de grau 2.
Passo 3
Agora avaliaremos essas derivadas em
:
Passo 4
Com esses valores, montamos o polinômio de Taylor até a ordem 2 (alem disso os coeficientes são zero):
Substituindo os números:
O que simplifica para a forma final abaixo.
Resposta
f(x)=5+(x-1)+3(x-1)^2