Encontre a Série de Taylor das funções abaixo em torno do ponto x0 dado. [Assuma que estas funções são analíticas em x0.]
f(x)=3 x^2-5 x+7, x0=1

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Taylor de f(x)=3x^2-5x+7 em torno de x0=1. Como a função é polinomial (logo analítica), podemos usar a fórmula de Taylor
f(x)= sumn=0^inftyf^(n)(1)n!(x-1)^n
Para isso, precisamos calcular as derivadas de f até ordem 2 e avaliá-las em x=1.

Passo 2

Vamos derivar a função:
f(x)=3x^2-5x+7
Derivando uma vez:
f'(x)=6x-5
Derivando de novo:
f''(x)=6
Para ordens n>=3, temos f^(n)(x)=0 pois é polinômio de grau 2.

Passo 3

Agora avaliaremos essas derivadas em x=1:
f(1)=3cdot1^2-5cdot1+7=5
f'(1)=6cdot1-5=1
f''(1)=6

Passo 4

Com esses valores, montamos o polinômio de Taylor até a ordem 2 (alem disso os coeficientes são zero):
f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+f''(1)2!(x-1)^2
Substituindo os números:
f(x)=5+1,(x-1)+62(x-1)^2
O que simplifica para a forma final abaixo.

Resposta

f(x)=5+(x-1)+3(x-1)^2

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