Encontre a Série de Taylor das funções abaixo em torno do ponto
dado. [Assuma que estas funções são analíticas em
.]
Passo 1
O enunciado pede a Série de Taylor de f(x)=x³ em torno de x₀=2. O conteúdo envolve a definição de Série de Taylor para funções analíticas e o cálculo de derivadas até a ordem necessária.
Passo 2
A Série de Taylor de uma função f em torno de x₀ é dada por:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de f(x)=x³ e avaliá-las em x₀=2:
• f(x)=x³ ⇒ f(2)=2³=8
• f’(x)=3x² ⇒ f’(2)=3·2²=12
• f’’(x)=6x ⇒ f’’(2)=6·2=12
• f’’’(x)=6 ⇒ f’’’(2)=6
Derivadas de ordem ≥4 são zero, pois f é polinomial de grau 3.
• f(x)=x³ ⇒ f(2)=2³=8
• f’(x)=3x² ⇒ f’(2)=3·2²=12
• f’’(x)=6x ⇒ f’’(2)=6·2=12
• f’’’(x)=6 ⇒ f’’’(2)=6
Derivadas de ordem ≥4 são zero, pois f é polinomial de grau 3.
Passo 4
Substituindo na fórmula de Taylor até n=3 (os termos n>3 são nulos) temos:
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