Encontre a Série de Taylor das funções abaixo em torno do ponto x0 dado. [Assuma que estas funções são analíticas em x0.]
f(x)=x^3, x0=2

Passo 1

O enunciado pede a Série de Taylor de f(x)=x³ em torno de x₀=2. O conteúdo envolve a definição de Série de Taylor para funções analíticas e o cálculo de derivadas até a ordem necessária.

Passo 2

A Série de Taylor de uma função f em torno de x₀ é dada por:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(x0)n!(x-x0)^n

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de f(x)=x³ e avaliá-las em x₀=2:
• f(x)=x³ ⇒ f(2)=2³=8
• f’(x)=3x² ⇒ f’(2)=3·2²=12
• f’’(x)=6x ⇒ f’’(2)=6·2=12
• f’’’(x)=6 ⇒ f’’’(2)=6
Derivadas de ordem ≥4 são zero, pois f é polinomial de grau 3.

Passo 4

Substituindo na fórmula de Taylor até n=3 (os termos n>3 são nulos) temos:
x^3 = f(2) + f'(2)(x-2) + f''(2)2!(x-2)^2 + f'''(2)3!(x-2)^3
Logo,
x^3 = 8 + 12(x-2) + 6(x-2)^2 + (x-2)^3

Resposta

8 + 12(x-2) + 6(x-2)^2 + (x-2)^3

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