Mostre que Ln(-e j)=1-(pi / 2) j e Ln(1-j)=(1 / 2) Ln(2)-(pi / 4) j.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as duas expressões envolvem o logaritmo principal de um número complexo: queremos calcular Ln(-e j) e Ln(1-j). O conteúdo aqui é logaritmo complexo, e vamos precisar usar a definição .

Passo 2

Para qualquer número complexo z, usamos a fórmula

onde é o argumento principal (no intervalo Ln(z)=ln|z|+jArg(z)).

Passo 3

No caso de z=-e,j:
  • Primeiro, o módulo é
    |z|=|-e,j|=e
  • Depois, o argumento de -e,j é o mesmo de -j, ou seja

    Aplicando a fórmula:
Arg(-j)=-tfracpi2

Passo 4

Para z=1-j:
  • O módulo é
    |1-j|=raiz1^2+(-1)^2=raiz2
  • O argumento de 1-j no ramo principal é

    Logo,
Arg(1-j)=-tfracpi4

Resposta

Ln(-e,j)=1-tfracpi2j e Ln(1-j)=tfrac12ln(2)-tfracpi4j.

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