Questão 2. O volume V em m^3 de água em um pequeno reservatório durante o degelo da primavera é dado por
V=5000(1+t)^2
para t em meses e 0 <= t <= 3. A taxa de variação do volume em relação ao tempo é a taxa de fluxo para o reservatório. Determine a taxa de fluxo nos instantes
a) t=0
b) t=2
c) Qual é a taxa de fluxo quando o volume é 11250 m^3

Passo 1

O enunciado dá o volume de água em um reservatório como função do tempo
V(t)=5000,(1+t)^2,
com t em meses e 0<= t<=3. A taxa de fluxo é a derivada tfracdVdt. Vamos usar a regra da cadeia para obter tfracdVdt e depois avaliar nos instantes pediods.

Passo 2

Calculando a derivada de V(t) por regra da cadeia:
V'(t)=ddtl[5000,(1+t)^2r] =5000cdot2,(1+t)cdotddt(1+t) =10000,(1+t)

Passo 3

Para t=0, substituímos em V'(t)=10000(1+t):
V'(0)=10000,(1+0)=10000
Logo, a taxa de fluxo em t=0 é
10000 m^3/mês ê

Passo 4

Para t=2, temos
V'(2)=10000,(1+2)=10000cdot3=30000
Assim, a taxa de fluxo em t=2 é
30000 m^3/mês ê

Passo 5

Queremos a taxa de fluxo quando V=11250. Primeiro achamos t resolvendo
5000,(1+t)^2=11250 Longrightarrow (1+t)^2=2,25 Longrightarrow 1+t=1,5 Longrightarrow t=0,5
Em seguida,
V'(0,5)=10000,(1+0,5)=10000cdot1,5=15000
Portanto, a taxa de fluxo quando o volume é 11250 m^3 é
15000 m^3/mês ê

Resposta

a) 10000 m^3/mêsê
b) 30000 m^3/mêsê
c) 15000 m^3/mêsê

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