Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto dado para as seguintes funções. Determine os valores de para os quais a série converge.
2)
Passo 1
A questão pede para encontrar a série de Maclaurin (caso especial da série de Taylor em torno de ) para e também determinar para quais valores de essa série converge. Vamos usar o conceito de séries de Taylor/Maclaurin e derivadas sucessivas.
Passo 2
Recordando que a fórmula geral da série de Maclaurin de uma função é
Aqui é a n-ésima derivada de avaliada em 0 e é o fatorial de .
Passo 3
Precisamos calcular as derivadas de e avaliá-las em 0. As primeiras derivadas são: , , , e , repetindo o ciclo a cada 4 derivadas. Avaliando em 0, obtemos , , , e assim por diante.
Passo 4
Observamos que apenas as derivadas de ordem ímpar geram valores não nulos em 0, logo só aparecerão termos de . O coeficiente geral para o termo de ordem é
Passo 5
Substituindo na fórmula geral, a série de Maclaurin de fica:
Passo 6
Para o intervalo de convergência, usamos o teste da razão sobre o termo geral . Calculamos
Como essa razão é menor que 1 para todo xinR, concluímos que a série converge para qualquer valor real de x.
Resposta
A série de Maclaurin de sin x em torno de 0 é sin x = sumk=0^infty (-1)^k x^2k+1(2k+1)! e ela converge para todo xinR.