Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
2) f(x)=sen x c=0

Passo 1

A questão pede para encontrar a série de Maclaurin (caso especial da série de Taylor em torno de c=0) para f(x)=sin x e também determinar para quais valores de x essa série converge. Vamos usar o conceito de séries de Taylor/Maclaurin e derivadas sucessivas.

Passo 2

Recordando que a fórmula geral da série de Maclaurin de uma função f é
f(x)=sumn=0^infty f^(n)(0)n!,x^n
Aqui f^(n)(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0 e n! é o fatorial de n.

Passo 3

Precisamos calcular as derivadas de sin x e avaliá-las em 0. As primeiras derivadas são: f(x)=sin x, f'(x)=cos x, f''(x)=-sin x, f'''(x)=-cos x e f^(4)(x)=sin x, repetindo o ciclo a cada 4 derivadas. Avaliando em 0, obtemos f(0)=0, f'(0)=1, f''(0)=0, f'''(0)=-1 e assim por diante.

Passo 4

Observamos que apenas as derivadas de ordem ímpar geram valores não nulos em 0, logo só aparecerão termos de x^2k+1. O coeficiente geral para o termo de ordem 2k+1 é
f^(2k+1)(0)(2k+1)!=(-1)^k(2k+1)!

Passo 5

Substituindo na fórmula geral, a série de Maclaurin de sin x fica:
sin x = sumk=0^infty (-1)^k x^2k+1(2k+1)!

Passo 6

Para o intervalo de convergência, usamos o teste da razão sobre o termo geral ak = (-1)^k x^2k+1/(2k+1)!. Calculamos
limktoinfty |ak+1ak| = limktoinfty |x|^2(2k+2)(2k+3) = 0 <1
Como essa razão é menor que 1 para todo xinR, concluímos que a série converge para qualquer valor real de x.

Resposta

A série de Maclaurin de sin x em torno de 0 é sin x = sumk=0^infty (-1)^k x^2k+1(2k+1)! e ela converge para todo xinR.

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