Seja f a função definida pela série de potências
sumn=0^+infty x^n+1(n+1)^2=x+x^24+x^39+cdots+x^n+1(n+1)^2+x^n+2(n+2)^2+ldots
Determine o domínio de f. Resp: Df=[-1,1]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f $ definida por uma série de potências:
f
Queremos determinar o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de $ x $ essa série converge e, portanto, a função $ f(x) $ está bem definida. Para resolver isso, vamos usar o raio de convergência das séries de potências.

Passo 2

O raio de convergência $ R $ de uma série de potências $ \sum a_n x^n $ nos diz os valores de $ x $ para os quais a série converge. Uma das maneiras de encontrar $ R $ é usando o Teste da Razão (ou Critério de D’Alembert).

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão, consideramos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se $ L < 1 $, a série converge; se $ L > 1 $, a série diverge; e se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos identificar $ a_n $ na nossa série. A série dada é:
an
Aqui, podemos reescrever $ a_n = \frac{x{n+1}}{(n+1){2}} $.

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | x^(n+1)+1(n+1+1)^2x^n+1(n+1)^2 | = limn to infty | x^n+2 cdot (n+1)^2x^n+1 cdot (n+2)^2 |

Passo 6

Simplificando a expressão:
L = limn to infty | x cdot ( n+1n+2 )^2 | = |x| cdot limn to infty ( n+1n+2 )^2
Sabemos que:
limn to infty n+1n+2 = 1
Portanto:
L = |x| cdot 1^2 = |x|

Passo 7

Para que a série convirja, precisamos que $ L < 1 $:
L < 1
Então, a série converge para valores de $ x $ tais que $ -1 < x < 1 $.

Passo 8

Além disso, precisamos verificar os pontos de extremidade $ x = -1 $ e $ x = 1 $ para ver se a série converge nesses pontos.
  • Para $ x = 1 $:
x = -1
Essa é uma série p com $ p = 2 > 1 $, que converge.
  • Para $ x = -1 $:
x = 1
Essa é uma série alternada onde os termos decaem em módulo e tendem a zero, então também converge.

Resposta

Portanto, o domínio da função $ f $ é o intervalo fechado f .

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