Obtenha uma representação em série de potências em torno de
(dado abaixo) para as funções, abaixo, e determine o intervalo de convergência de cada uma.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar uma representação em série de potências para a função $ f(x) = \left(1 - \frac{x}{2}\right)^{-2} $ em torno de $ a = 0 $. Além disso, precisamos descobrir o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e a fórmula binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da série binomial. Temos:
Podemos pensar nisso como $ (1 - u)^{-2} $, onde $ u = \frac{x}{2} $.
Passo 3
A fórmula binomial para $ (1 - u)^{-k} $ é:
No nosso caso, $ k = 2 $, então fica:
Passo 4
Simplificando o coeficiente binomial:
Então nossa série fica:
Passo 5
Agora, vamos escrever a série de maneira mais explícita:
Que pode ser simplificada para:
Passo 6
Para determinar o intervalo de convergência, usamos o critério da razão. Consideramos o limite:
Para convergir, esse limite deve ser menor que 1:
Resposta
A representação em série de potências de $ f(x) = \left(1 - \frac{x}{2}\right)^{-2} $ em torno de $ a = 0 $ é:
E o intervalo de convergência é $ |x| < 2 $.