Obtenha uma representação em série de potências em torno de a (dado abaixo) para as funções, abaixo, e determine o intervalo de convergência de cada uma.
f(x)=(1-x2)^-2,
a=0 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar uma representação em série de potências para a função $ f(x) = \left(1 - \frac{x}{2}\right)^{-2} $ em torno de $ a = 0 $. Além disso, precisamos descobrir o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e a fórmula binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da série binomial. Temos:
f(x) = (1 - x2)^-2
Podemos pensar nisso como $ (1 - u)^{-2} $, onde $ u = \frac{x}{2} $.

Passo 3

A fórmula binomial para $ (1 - u)^{-k} $ é:
(1 - u)^-k
No nosso caso, $ k = 2 $, então fica:
(1 - u)^-k = sumn=0^infty binomn + k - 1n u^n

Passo 4

Simplificando o coeficiente binomial:
binomn + 1n = n + 1
Então nossa série fica:
f(x) = sumn=0^infty (n + 1) (x2)^n

Passo 5

Agora, vamos escrever a série de maneira mais explícita:
f(x) = 1 + 2(x2) + 3(x2)^2 + 4(x2)^3 + dots
Que pode ser simplificada para:
f(x) = sumn=0^infty (n + 1) (x2)^n

Passo 6

Para determinar o intervalo de convergência, usamos o critério da razão. Consideramos o limite:
limn to infty | (n + 2) (x2)^n+1(n + 1) (x2)^n | = limn to infty | n + 2n + 1 cdot x2 | = | x2 |
Para convergir, esse limite deve ser menor que 1:
| x2 | < 1 implies |x| < 2

Resposta

A representação em série de potências de $ f(x) = \left(1 - \frac{x}{2}\right)^{-2} $ em torno de $ a = 0 $ é:
f(x) = (1 - x2)^-2
E o intervalo de convergência é $ |x| < 2 $.

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