Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
4) f(x)=sen x c=pi6

Passo 1

A função é f(x)=sen x e queremos sua série de Taylor em torno de c=π/6. O conteúdo aqui é a definição de série de Taylor:
f(x)= sumn=0^infty f^(n)(c)n! (x-c)^n
Logo, vamos precisar conhecer as derivadas de sen x e avaliá-las em x=π/6.

Passo 2

Sabemos que as derivadas de sen x se repetem a cada 4 passos:
f(x)=sen x
f′(x)=cos x
f″(x)=−sen x
f‴(x)=−cos x
f⁽⁴⁾(x)=sen x
Isso implica a fórmula de termo geral:
f^(n)(x)=sinl(x+tfracnpi2r)
e, portanto,
f^(n)l(tfracpi6r)=sinl(tfracpi6+tfracnpi2r)

Passo 3

Substituindo na definição, o coeficiente aₙ= f^(n)(π/6)/n!, obtemos a série em forma fechada:
sin x= sumn=0^infty sinl(tfracpi6+tfracnpi2r)n! l(x-tfracpi6r)^n

Passo 4

Para ver de forma mais familiar, use a identidade de soma de ângulos:
sinl(tfracpi6+hr)=tfrac12cos h+tfracraiz32sin h
com h=x−π/6, e expanda cos h e sin h nas séries conhecidas:
cos h=sumk=0^infty(-1)^kh^2k(2k)!, sin h=sumk=0^infty(-1)^kh^2k+1(2k+1)!
Assim,
sin x=12sumk=0^infty(-1)^k(x-pi/6)^2k(2k)! +raiz32sumk=0^infty(-1)^k(x-pi/6)^2k+1(2k+1)!

Passo 5

As séries de seno e cosseno têm raio de convergência infinito. Como nossa série é combinação linear delas, ela também converge para todo x real.

Resposta

sin x=12sumk=0^infty(-1)^k(x-pi/6)^2k(2k)!+raiz32sumk=0^infty(-1)^k(x-pi/6)^2k+1(2k+1)!,convergindo para todo x∈ℝ.

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