Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funções. Determine os valores de
para os quais a série converge.
4)
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Passo 1
A função é f(x)=sen x e queremos sua série de Taylor em torno de c=π/6. O conteúdo aqui é a definição de série de Taylor:
Logo, vamos precisar conhecer as derivadas de sen x e avaliá-las em x=π/6.
Passo 2
Sabemos que as derivadas de sen x se repetem a cada 4 passos:
f(x)=sen x
f′(x)=cos x
f″(x)=−sen x
f‴(x)=−cos x
f⁽⁴⁾(x)=sen x
Isso implica a fórmula de termo geral:
e, portanto,
Passo 3
Substituindo na definição, o coeficiente aₙ=
, obtemos a série em forma fechada:
Passo 4
Para ver de forma mais familiar, use a identidade de soma de ângulos:
com h=x−π/6, e expanda cos h e sin h nas séries conhecidas:
Assim,
Passo 5
As séries de seno e cosseno têm raio de convergência infinito. Como nossa série é combinação linear delas, ela também converge para todo x real.