Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto dado para as seguintes funções. Determine os valores de para os quais a série converge.
6)
Passo 1
Estamos com a função e queremos a série de Maclaurin em torno de . O que precisamos: escrever como uma série de potências em e achar o intervalo (ou raio) de convergência.
Passo 2
Lembrando da expansão da série geométrica:
Passo 3
Para nossa função temos , ou seja, basta tomar na série geométrica. Assim:
Passo 4
Agora vamos analisar a convergência usando o teste da razão em :
Passo 5
Para convergir, precisamos de |x|<1. Portanto, o raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é -1,1.
Resposta
[\n\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n\n]\nConverge para -1 < x < 1.