Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
6) f(x)=11+x c=0

Passo 1

Estamos com a função f(x)=11+x e queremos a série de Maclaurin em torno de c=0. O que precisamos: escrever f(x) como uma série de potências em x e achar o intervalo (ou raio) de convergência.

Passo 2

Lembrando da expansão da série geométrica:
11 - r = sumn=0^infty r^n, |r|<1

Passo 3

Para nossa função temos 1+x = 1 - (-x), ou seja, basta tomar r=-x na série geométrica. Assim:
11+x = 11 - (-x) = sumn=0^infty (-x)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^n

Passo 4

Agora vamos analisar a convergência usando o teste da razão em an = (-1)^n x^n:
limntoinfty |an+1an| = limntoinfty |x| = |x|

Passo 5

Para convergir, precisamos de |x|<1. Portanto, o raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é -1,1.

Resposta

[\n\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n\n]\nConverge para -1 < x < 1.

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