Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
35) sumk=0^infty (-1)^k x^2 k+12(k+1)!

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potência sumk=0^infty (-1)^k x^2 k+12(k+1)!. Vamos usar o conteúdo de séries de potência e o teste da razão para determinar onde ela converge.

Passo 2

O teste da razão diz que, para termos gerais ak, se L = limktoinfty l|ak+1/akr| existe, então a série converge se L<1 e diverge se L>1. No caso de igualdade, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui nosso termo geral é ak = (-1)^k x^2k+12,(k+1)! Vamos calcular
|ak+1ak| = |(-1)^k+1 x^2(k+1)+12,(k+2)!cdot 2,(k+1)!(-1)^k x^2k+1| = |x|^2k+2

Passo 4

Quando ktoinfty, temos |x|^2k+2to 0 para todo xinR. Como 0<1 sempre, a série converge para qualquer valor real de x.

Resposta

(-∞, ∞)

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