Seja f(x)=ll3-x2^2 & , x<1 1raizx & , x >= 1 f é diferenciável em x=1? f é contínua em x=1?

Passo 1

Resumo do exercício: temos a função definida por partes
f(x)= 3-x4, & x<1 1raizx, & x>=1
O conteúdo aqui é analisar continuidade e diferenciabilidade em x=1. Para isso vamos precisar calcular os limites laterais de f(x) em x=1, comparar com f(1) e depois verificar as derivadas laterais em x=1.

Passo 2

Em teoria, f é contínua em x=1 se
limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=f(1)
Vamos calcular cada pedaço.
Cálculo do limite à esquerda:
limxto1^-f(x)=limxto1^-3-x4=3-14=12
Cálculo do limite à direita:
limxto1^+f(x)=limxto1^+1raizx=1raiz1=1
E o valor em x=1 é dado pelo segundo ramo: f(1)=1. Como tfrac12neq1, os limites laterais não coincidem, logo f não é contínua em x=1.

Passo 3

Para que f fosse diferenciável em x=1 seria necessário que ela fosse contínua lá e que as derivadas laterais existissem e fossem iguais.
Como não há continuidade em x=1, imediatamente concluímos que f não é diferenciável em x=1.
Se quisermos reforçar com as derivadas laterais, note que o ramo esquerdo é função afim, cuja derivada é constante:
f'-(1)=-14
E no ramo direito, usando regra do expoente para f(x)=x^-1/2:
f'+(1)=-12x^3/2|x=1=-12
Como -tfrac14neq-tfrac12, temos também derivadas laterais diferentes, confirmando que f não é diferenciável.

Passo 4

Portanto, resumindo, em x=1 a função não satisfaz os critérios de continuidade, e por consequência também não é diferenciável.

Resposta

Não. A função não é contínua em x=1 e, consequentemente, não é diferenciável em x=1.

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