Resumo do exercício: temos a função definida por partes
O conteúdo aqui é analisar continuidade e diferenciabilidade em . Para isso vamos precisar calcular os limites laterais de em , comparar com e depois verificar as derivadas laterais em .
Passo 2
Em teoria, é contínua em se
Vamos calcular cada pedaço.
Cálculo do limite à esquerda:
Cálculo do limite à direita:
E o valor em é dado pelo segundo ramo: . Como , os limites laterais não coincidem, logo não é contínua em .
Passo 3
Para que fosse diferenciável em seria necessário que ela fosse contínua lá e que as derivadas laterais existissem e fossem iguais.
Como não há continuidade em , imediatamente concluímos que não é diferenciável em .
Se quisermos reforçar com as derivadas laterais, note que o ramo esquerdo é função afim, cuja derivada é constante:
E no ramo direito, usando regra do expoente para :
Como -tfrac14neq-tfrac12, temos também derivadas laterais diferentes, confirmando que f não é diferenciável.
Passo 4
Portanto, resumindo, em x=1 a função não satisfaz os critérios de continuidade, e por consequência também não é diferenciável.
Resposta
Não. A função não é contínua em x=1 e, consequentemente, não é diferenciável em x=1.