Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto dado para as seguintes funções. Determine os valores de para os quais a série converge.
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Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin (caso especial de Taylor em torno de c=0) para a função . O conteúdo envolve séries de potências e cálculo de derivadas em torno de 0, usando a definição .
Passo 2
Para montar a série, calculamos as derivadas de :
Em particular, em temos . Logo a série de Maclaurin fica
Passo 3
Para verificar a convergência, use o teste da razão em :
Como o limite é 0 para todo x, a série converge para todo xinR.
Resposta
2^x=sumn=0^infty (ln(2))^nn!,x^n, convergindo para todo xinR.