Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
9) f(x)=2^x c=0

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin (caso especial de Taylor em torno de c=0) para a função f(x)=2^x. O conteúdo envolve séries de potências e cálculo de derivadas em torno de 0, usando a definição f(x)=sumn=0^infty f^(n)(0)n!x^n.

Passo 2

Para montar a série, calculamos as derivadas de f:
f'(x)=ln(2),2^x,
f''(x)=(ln(2))^2,2^x,
f^(n)(x)=(ln(2))^n,2^x
Em particular, em x=0 temos f^(n)(0)=(ln(2))^ncdot2^0=(ln(2))^n. Logo a série de Maclaurin fica
2^x=sumn=0^infty (ln(2))^nn!,x^n

Passo 3

Para verificar a convergência, use o teste da razão em an=(ln(2))^nn!x^n:
|an+1an| =|x|,(ln(2))^n+1/(n+1)!|x|^n(ln(2))^n/n! =|x|ln(2)n+1 xrightarrow[ntoinfty]0
Como o limite é 0 para todo x, a série converge para todo xinR.

Resposta

2^x=sumn=0^infty (ln(2))^nn!,x^n, convergindo para todo xinR.

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