Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funções. Determine os valores de
para os quais a série converge.
13)
13)
Passo 1
O problema pede a série de Taylor de f(x)=x
sen
x centrada em c=π/4 e o intervalo de convergência. Vamos usar a fórmula de Taylor em torno de c e propriedades de séries de Maclaurin.
sen
x centrada em c=π/4 e o intervalo de convergência. Vamos usar a fórmula de Taylor em torno de c e propriedades de séries de Maclaurin.
Passo 2
Para não ter que derivar f(x) infinitamente, a gente faz uma mudança de variável h=x–π/4. Então x=π/4+h e
Passo 3
Usamos a identidade trigonométrica
com
e
. Como
,
Passo 4
Agora lembramos as séries de Maclaurin:
$$\cos h=\sum_{k=0}{\infty}\frac{(-1)k}{(2k)!}h^{2k},\quad\sin h=\sum_{k=0}{\infty}\frac{(-1)k}{(2k+1)!}h^{2k+1}.
$$
Passo 5
Substituindo em f(x) e distribuindo, obtemos quatro séries:
Passo 6
Podemos agrupar em potências
. Ficando, para
:
$$a_{2m}=\frac{\sqrt2}{2}\Bigl(\frac{\pi}{4}\frac{(-1)m}{(2m)!}+\frac{(-1){m-1}}{(2m-1)!}\Bigr),\quad a_{2m+1}=\frac{\sqrt2}{2}\Bigl(\frac{\pi}{4}\frac{(-1)m}{(2m+1)!}+\frac{(-1)m}{(2m)!}\Bigr).
$$
Passo 7
Logo a série de Taylor em torno de
é
Resposta
Tomando
, a série de Taylor de
em torno de
é
com
Essa série converge para todo
(raio de convergência infinito).