Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
13) f(x)=x sen x c=pi4

Passo 1

O problema pede a série de Taylor de f(x)=x
sen
x centrada em c=π/4 e o intervalo de convergência. Vamos usar a fórmula de Taylor em torno de c e propriedades de séries de Maclaurin.

Passo 2

Para não ter que derivar f(x) infinitamente, a gente faz uma mudança de variável h=x–π/4. Então x=π/4+h e
f(x)=xsin x=(tfracpi4+h)sinl(tfracpi4+hr)

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica sin(a+b)=sin acos b+cos asin b com a=pi/4 e b=h. Como sin(pi/4)=cos(pi/4)=tfracraiz22,
f(x)=raiz22(tfracpi4+h)[cos h+sin h]

Passo 4

Agora lembramos as séries de Maclaurin:
$$\cos h=\sum_{k=0}{\infty}\frac{(-1)k}{(2k)!}h^{2k},\quad\sin h=\sum_{k=0}{\infty}\frac{(-1)k}{(2k+1)!}h^{2k+1}.
$$

Passo 5

Substituindo em f(x) e distribuindo, obtemos quatro séries:
f(x)=raiz22l[pi4sumk=0^infty(-1)^k(2k)!h^2k+pi4sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)!h^2k+1 +sumk=0^infty(-1)^k(2k)!h^2k+1+sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)!h^2k+2r],

Passo 6

Podemos agrupar em potências h^n. Ficando, para m>=0:
$$a_{2m}=\frac{\sqrt2}{2}\Bigl(\frac{\pi}{4}\frac{(-1)m}{(2m)!}+\frac{(-1){m-1}}{(2m-1)!}\Bigr),\quad a_{2m+1}=\frac{\sqrt2}{2}\Bigl(\frac{\pi}{4}\frac{(-1)m}{(2m+1)!}+\frac{(-1)m}{(2m)!}\Bigr).
$$

Passo 7

Logo a série de Taylor em torno de c=pi/4 é
f(x)=sumn=0^infty an,h^n, h=x-pi4, e como cos e sen têm raio de convergência infinito, esta série também converge para todo xin R.

Resposta

Tomando h=x-tfracpi4, a série de Taylor de f(x)=xsin x em torno de c=pi/4 é
f(x)=sumn=0^inftyan,h^n,
com
a2m=raiz22l(pi4(-1)^m(2m)!+(-1)^m-1(2m-1)!r), a2m+1=raiz22l(pi4(-1)^m(2m+1)!+(-1)^m(2m)!r)
Essa série converge para todo xin R (raio de convergência infinito).

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