Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funções. Determine os valores de
para os quais a série converge.
8)
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Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor (Maclaurin) de f(x)=x·sen(2x) em torno de c=0 e a região de convergência. Vamos usar a série de Maclaurin de sen(x) e depois adaptar para sen(2x) e multiplicar por x.
Passo 2
A série de Maclaurin de sen(x) é dada por
e ela converge para todo x∈ℝ porque o raio de convergência é infinito.
Passo 3
Substituindo x por 2x na expansão de sen(x), temos:
Passo 4
Agora multiplicamos essa série por x para obter f(x)=x·sen(2x):
Passo 5
Como essa série é obtida a partir de uma série de raio de convergência infinito (a de sen(x)), o produto por x não altera o raio. Logo a expansão converge para todo x∈ℝ.
Resposta
A série de Maclaurin de f(x)=x,\sin(2x) é
e ela converge para todo x\in\mathbb{R}.