Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
8) f(x)=x sen 2 x c=0

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor (Maclaurin) de f(x)=x·sen(2x) em torno de c=0 e a região de convergência. Vamos usar a série de Maclaurin de sen(x) e depois adaptar para sen(2x) e multiplicar por x.

Passo 2

A série de Maclaurin de sen(x) é dada por
sin x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!,
e ela converge para todo x∈ℝ porque o raio de convergência é infinito.

Passo 3

Substituindo x por 2x na expansão de sen(x), temos:
sin(2x)=sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n+1(2n+1)!= sumn=0^infty(-1)^n2^2n+1(2n+1)!x^2n+1

Passo 4

Agora multiplicamos essa série por x para obter f(x)=x·sen(2x):
xsin(2x)=sumn=0^infty(-1)^n2^2n+1(2n+1)!x^2n+2

Passo 5

Como essa série é obtida a partir de uma série de raio de convergência infinito (a de sen(x)), o produto por x não altera o raio. Logo a expansão converge para todo x∈ℝ.

Resposta

A série de Maclaurin de f(x)=x,\sin(2x) é
sumn=0^infty(-1)^n2^2n+1(2n+1)!x^2n+2,
e ela converge para todo x\in\mathbb{R}.

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