Prove que se
tem limite
, então
tem limite
. Dê exemplo de uma sequência
tal que
converge, mas não
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que se uma sequência $ a_{n} $ tem limite $ L $, então a sequência dos valores absolutos $ |a_{n}| $ tem limite $ |L| $. Além disso, precisamos dar um exemplo de uma sequência onde $ |a_{n}| $ converge, mas $ a_{n} $ não. Vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades dos valores absolutos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência $ a_{n} $ ter limite $ L $. Isso quer dizer que, conforme $ n $ vai aumentando, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de $ L $. Formalmente, para todo $ \epsilon > 0 $, existe um número natural $ N $ tal que, para todo $ n \geq N $, temos $ |a_{n} - L| < \epsilon $.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que $ |a_{n}| $ tem limite $ |L| $. Para isso, vamos usar a propriedade da continuidade da função valor absoluto. A continuidade de uma função nos permite passar o limite através dela. Ou seja, se $ a_{n} $ tende para $ L $, então $ |a_{n}| $ tende para $ |L| $.
Passo 4
Vamos formalizar isso. Sabemos que:
Aplicando o valor absoluto em ambos os lados e usando a continuidade, temos:
Isso prova que se $ a_{n} $ converge para $ L $, então $ |a_{n}| $ converge para $ |L| $.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte do exercício: encontrar uma sequência $ a_{n} $ tal que $ |a_{n}| $ converge, mas $ a_{n} $ não converge. Um exemplo clássico disso é a sequência alternada:
Passo 6
Vamos analisar esse exemplo. Para qualquer $ n $, $ (-1)^{n} $ alterna entre $ 1 $ e $ -1 $. Então, a sequência $ a_{n} $ fica assim: $ 1, -1, 1, -1, ··· $, o que não converge a nenhum valor específico porque continua oscilando.
Passo 7
Por outro lado, a sequência dos valores absolutos é:
Aqui, $ |a_{n}| $ é sempre $ 1 $, então claramente ela converge para $ 1 $.
Resposta
Portanto, provamos que se $ a_{n} $ tem limite $ L $, então $ |a_{n}| $ tem limite $ |L| $. Um exemplo de sequência onde $ |a_{n}| $ converge, mas $ a_{n} $ não converge é $ a_{n} = (-1)^{n} $.