Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
12) f(x)=x^2 e^-x c=0

Passo 1

Vamos achar a série de Maclaurin de f(x)=x²e^(−x) em torno de c=0. O conteúdo aqui é expansão em série de Taylor/Maclaurin, e vamos usar a série conhecida de e^(−x) e depois multiplicar por x².

Passo 2

Sabendo que a série de Maclaurin de e^(−x) é dada por
e^−x=sumn=0^infty(-1)^nx^nn!,
esse resultado vale para todos os x (raio de convergência infinito).
Agora multiplicamos termo a termo por x² para obter f(x):
x^2e^−x=x^2sumn=0^infty(-1)^nx^nn!=sumn=0^infty(-1)^nx^n+2n!

Passo 3

Para expressar a série com potência x^m começando em m=0 ou m=2, fazemos a mudança de índice m=n+2, então n=m−2. Assim,
x^2e^−x=summ=2^infty(-1)^m-2x^m(m-2)!

Passo 4

Como essa série vem diretamente da expansão de e^(−x), cujo raio de convergência é infinito, concluímos que a série de f(x) também converge para todo x real.

Resposta

A série de Maclaurin é
x^2e^−x=sumn=0^infty(-1)^nx^n+2n!=summ=2^infty(-1)^m-2x^m(m-2)!,
e converge para todo x\inℝ.

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