Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funções. Determine os valores de
para os quais a série converge.
12)
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Passo 1
Vamos achar a série de Maclaurin de f(x)=x²e^(−x) em torno de c=0. O conteúdo aqui é expansão em série de Taylor/Maclaurin, e vamos usar a série conhecida de e^(−x) e depois multiplicar por x².
Passo 2
Sabendo que a série de Maclaurin de e^(−x) é dada por
esse resultado vale para todos os x (raio de convergência infinito).
Agora multiplicamos termo a termo por x² para obter f(x):
Agora multiplicamos termo a termo por x² para obter f(x):
Passo 3
Para expressar a série com potência x^m começando em m=0 ou m=2, fazemos a mudança de índice m=n+2, então n=m−2. Assim,
Passo 4
Como essa série vem diretamente da expansão de e^(−x), cujo raio de convergência é infinito, concluímos que a série de f(x) também converge para todo x real.
Resposta
A série de Maclaurin é
e converge para todo x\inℝ.