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l integral tripla x^2 d x d y d z 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1 x-1 <= z <= x+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular integral tripla x^2 , dx , dy , dz com x variando de 0 a 1, y de 0 a 1, e z de x-1 a x+y. Vamos usar o conceito de integrais múltiplas da matéria de cálculo multivariável. Precisamos entender os limites de integração e como integrar em várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem de integração. A integral está escrita como dx , dy , dz, mas podemos reescrever na ordem que for mais fácil. Porém, aqui vamos seguir a ordem dada.

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a z. A função a integrar é x^2, que não depende de z, então a integral em z será simplesmente x^2 multiplicado pelo intervalo de z.
integralz = x-1^x+y x^2 , dz = x^2 cdot [(x + y) - (x - 1)] = x^2 cdot (y + 1)

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a y. A expressão fica x^2(y + 1) com y variando de 0 a 1.
integraly=0^1 x^2(y + 1) , dy = x^2 cdot [y^22 + y]0^1 = x^2 cdot (12 + 1) = x^2 cdot 32

Passo 5

Por fim, vamos integrar em relação a x. A expressão é 32x^2 com x variando de 0 a 1.
integralx=0^1 32x^2 , dx = 32 cdot [x^33]0^1 = 32 cdot (13) = 12

Resposta

O valor da integral tripla é 12.

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