Encontre a série de Taylor das seguintes funções em torno do ponto indicado.
(d) f(x)=\sqrt{x}, \quad a=1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que dá:
  • Pede: encontrar a série de Taylor de f(x)=\sqrt{x} em torno do ponto a=1. Ou seja, escrever \sqrt{x} como uma série em potências de (x-1).
  • Informação dada: a função é f(x)=\sqrt{x} (equivalente a f(x)=x^{1/2}) e o ponto de expansão é a=1.
  • Objetivo prático: obter uma expressão do tipo
\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-1)^n
onde os coeficientes c_n vêm das derivadas de f avaliadas em x=1.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (Taylor centrado em a):
\text{Se }f\text{ for infinitamente diferenciável em torno de }a,\quad f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^n.á
Aqui:
  • f^{(n)}(a) significa a n-ésima derivada de f avaliada em x=a.
  • n! é o fatorial de n.
    No nosso caso a=1, então os coeficientes serão c_n=\dfrac{f^{(n)}(1)}{n!}. Vou mostrar como obter esses f^{(n)}(1).

Passo 3

Cálculo das primeiras derivadas e padrão geral de f^{(n)}(x).
Começando de f(x)=x^{1/2}:
  • \displaystyle f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}.
  • \displaystyle f''(x)=\frac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}\right)x^{-3/2}.
  • \displaystyle f^{(3)}(x)=\frac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}\right)\left(-\tfrac{3}{2}\right)x^{-5/2}.
    Observa-se o padrão de produto com decrementos de 1 no segundo fator. Em forma geral, para n\ge 1:
f^{(n)}(x)=\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)\bigl(\tfrac{1}{2}-1\bigr)\bigl(\tfrac{1}{2}-2\bigr)\cdots\bigl(\tfrac{1}{2}-(n-1)\bigr)\,x^{\tfrac{1}{2}-n}.
Essa é a regra de derivação para potências: derivar x^\alpha n vezes multiplica por \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1) e reduz a potência para x^{\alpha-n}.

Passo 4

Avaliar as derivadas em x=1 e escrever os coeficientes c_n.
Como 1^{\tfrac{1}{2}-n}=1, tem-se
f^{(n)}(1)=\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)\bigl(\tfrac{1}{2}-1\bigr)\bigl(\tfrac{1}{2}-2\bigr)\cdots\bigl(\tfrac{1}{2}-(n-1)\bigr).
Portanto o coeficiente de Taylor é
c_n=\frac{f^{(n)}(1)}{n!}=\frac{1}{n!}\prod_{k=0}^{n-1}\Bigl(\tfrac{1}{2}-k\Bigr).
Esse coeficiente é exatamente o coeficiente binomial generalizado
\binom{1/2}{n}=\frac{(1/2)(1/2-1)\cdots(1/2-n+1)}{n!}.
Logo a série de Taylor fica (usando a expansão binomial generalizada)
\sqrt{x}=(1+(x-1))^{1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}(x-1)^n.

Passo 5

Escrever os primeiros termos explícitos (útil para usar na prova):
Calculemos alguns \binom{1/2}{n}:
  • \displaystyle \binom{1/2}{0}=1.
  • \displaystyle \binom{1/2}{1}=\tfrac{1}{2}.
  • \displaystyle \binom{1/2}{2}=\frac{\tfrac{1}{2}\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)}{2!}=-\tfrac{1}{8}.
  • \displaystyle \binom{1/2}{3}=\frac{\tfrac{1}{2}\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)}{3!}=+\tfrac{1}{16}.
  • \displaystyle \binom{1/2}{4}=-\tfrac{5}{128}.
    Portanto os primeiros termos são
\sqrt{x}=1+\tfrac{1}{2}(x-1)-\tfrac{1}{8}(x-1)^2+\tfrac{1}{16}(x-1)^3-\tfrac{5}{128}(x-1)^4+\cdots

Passo 6

Raio de convergência e comentário prático.
  • A expansão binomial generalizada converge para |x-1|<1. Geometricamente, o raio de convergência é a distância do ponto a=1 à singularidade mais próxima da função no plano complexo; para \sqrt{x} a singularidade (ramificação) está em x=0, cuja distância a 1 é 1.
  • Na prática, para aproximar \sqrt{x} numa prova use os primeiros termos acima se x estiver perto de 1 (por exemplo x\in(0,2) próximo de 1).

Resposta

\displaystyle \sqrt{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}(x-1)^n=1+\tfrac{1}{2}(x-1)-\tfrac{1}{8}(x-1)^2+\tfrac{1}{16}(x-1)^3-\tfrac{5}{128}(x-1)^4+\cdots,\quad |x-1|<1

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