Encontre a série de Taylor das seguintes funções em torno do ponto indicado.
(d)
(d)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que dá:
- Pede: encontrar a série de Taylor de
em torno do ponto . Ou seja, escrever como uma série em potências de . - Informação dada: a função é
(equivalente a ) e o ponto de expansão é . - Objetivo prático: obter uma expressão do tipo
onde os coeficientes
vêm das derivadas de
avaliadas em
.
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar (Taylor centrado em
):
Aqui:
-
significa a -ésima derivada de avaliada em . -
é o fatorial de .
No nosso caso, então os coeficientes serão . Vou mostrar como obter esses .
Passo 3
Cálculo das primeiras derivadas e padrão geral de
.
Começando de :
Começando de
-
. -
. -
.
Observa-se o padrão de produto com decrementos deno segundo fator. Em forma geral, para :
Essa é a regra de derivação para potências: derivar
vezes multiplica por
e reduz a potência para
.
Passo 4
Avaliar as derivadas em
e escrever os coeficientes
.
Como , tem-se
Como
Portanto o coeficiente de Taylor é
Esse coeficiente é exatamente o coeficiente binomial generalizado
Logo a série de Taylor fica (usando a expansão binomial generalizada)
Passo 5
Escrever os primeiros termos explícitos (útil para usar na prova):
Calculemos alguns :
Calculemos alguns
-
. -
. -
. -
. -
.
Portanto os primeiros termos são
Passo 6
Raio de convergência e comentário prático.
- A expansão binomial generalizada converge para
. Geometricamente, o raio de convergência é a distância do ponto à singularidade mais próxima da função no plano complexo; para a singularidade (ramificação) está em , cuja distância a é . - Na prática, para aproximar
numa prova use os primeiros termos acima se estiver perto de (por exemplo próximo de ).