Determine as derivadas parciais das funções:
q(x, y)=\frac{x^{3}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0).
\int\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \left(\frac{2}{x^{2}+y^{2}}\right),(x, y) \neq(0,0)

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de duas funções definidas fora da origem. As funções e as informações dadas são:
  • Primeira função:
q(x,y)=\frac{x^{3}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}},\qquad (x,y)\neq(0,0).
  • Segunda função (a notação tinha um símbolo de integral, mas aqui vou interpretar a função como o produto):
f(x,y)=\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\sin\!\left(\frac{2}{x^{2}+y^{2}}\right),\qquad (x,y)\neq(0,0).
O que é pedido para cada função: calcular \dfrac{\partial}{\partial x} e \dfrac{\partial}{\partial y}, isto é, as derivadas parciais em relação a x e a y.

Passo 2

Relembrando duas regras que vamos usar (sem pressa, passo a passo):
  • Regra do quociente (para derivada parcial em relação a x): se Q(x,y)=\dfrac{u(x,y)}{v(x,y)} com v\neq0, então
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{u_x v - u v_x}{v^2},
onde u_x e v_x são as derivadas parciais de u e v em relação a x.
  • Regra do produto + regra da cadeia: se f(x,y)=r(x,y)\cdot \sin\!\bigl(g(x,y)\bigr), então
\frac{\partial f}{\partial x}=r_x\sin(g)+r\cos(g)\cdot g_x,
onde r_x e g_x são derivadas parciais e usamos que (\sin g)'= \cos g\cdot g'.

Passo 3

Aplicando ao primeiro caso: defina
u(x,y)=x^{3}+y^{2},\qquad v(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Calcule as derivadas parciais simples:
u_x=3x^{2},\qquad v_x=2x,
u_y=2y,\qquad v_y=2y.
Esses resultados vêm de diferenciar termo a termo (derivada de x^3 em relação a x é 3x^2; de y^2 em relação a x é 0; etc.).

Passo 4

Agora calcule \dfrac{\partial q}{\partial x} usando a regra do quociente:
\frac{\partial q}{\partial x} =\frac{u_x v - u v_x}{v^2} =\frac{3x^{2}(x^{2}+y^{2})-2x(x^{3}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
3x^{2}(x^{2}+y^{2})=3x^{4}+3x^{2}y^{2},
2x(x^{3}+y^{2})=2x^{4}+2x y^{2}.
Subtraindo:
3x^{4}+3x^{2}y^{2}-\bigl(2x^{4}+2x y^{2}\bigr)=x^{4}+3x^{2}y^{2}-2x y^{2}.
Portanto uma forma simplificada é
\frac{\partial q}{\partial x}=\frac{x^{4}+3x^{2}y^{2}-2x y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Se preferir, pode factorar um x do numerador (pois para (x,y)\neq(0,0) essa expressão é válida):
\frac{\partial q}{\partial x}=\frac{x\bigl(x^{3}+y^{2}(3x-2)\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 5

Agora calcule \dfrac{\partial q}{\partial y} (ainda pelo quociente), usando os u_y e v_y calculados:
\frac{\partial q}{\partial y} =\frac{u_y v - u v_y}{v^2} =\frac{2y(x^{2}+y^{2})-2y(x^{3}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador:
2y\bigl(x^{2}+y^{2}-x^{3}-y^{2}\bigr)=2y(x^{2}-x^{3})=2x^{2}y(1-x).
Portanto
\frac{\partial q}{\partial y}=\frac{2x^{2}y(1-x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 6

Passando à segunda função. Defina
f(x,y)=\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\sin\!\left(\frac{2}{x^{2}+y^{2}}\right).
Para simplificar a notação, defina r(x,y)=x^{2}+y^{2} e g(r)=\sin\!\left(\frac{2}{r}\right). Assim f=r\cdot g(r) e usaremos produto + cadeia.

Passo 7

Calcule a derivada parcial em relação a x. Primeiro:
r_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x.
A derivada de g(r)=\sin\!\left(\frac{2}{r}\right) em relação a x é \cos\!\left(\frac{2}{r}\right) vezes a derivada de \dfrac{2}{r} em relação a x. Agora
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{2}{r}\right)=-2\frac{r_x}{r^{2}}=-2\frac{2x}{r^{2}}=-\frac{4x}{r^{2}}.
Usando produto + cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}=r_x\sin\!\left(\frac{2}{r}\right)+r\cos\!\left(\frac{2}{r}\right)\cdot\left(-\frac{4x}{r^{2}}\right).
Substituindo r e r_x:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\sin\!\left(\frac{2}{x^{2}+y^{2}}\right)-\frac{4x}{x^{2}+y^{2}}\cos\!\left(\frac{2}{x^{2}+y^{2}}\right).
Fatorando 2x (forma frequentemente mais clara):
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\left[\sin\!\left(\frac{2}{x^{2}+y^{2}}\right)-\frac{2}{x^{2}+y^{2}}\cos\!\left(\frac{2}{x^{2}+y^{2}}\right)\right].

Passo 8

De modo análogo para y: como a função é simétrica em x e y através de r=x^{2}+y^{2}, troca-se x por y nas partes que dependem do componente. Assim
r_y=2y,
e
\frac{\partial f}{\partial y}=2y\sin\!\left(\frac{2}{x^{2}+y^{2}}\right)-\frac{4y}{x^{2}+y^{2}}\cos\!\left(\frac{2}{x^{2}+y^{2}}\right).
Também pode escrever
\frac{\partial f}{\partial y}=2y\left[\sin\!\left(\frac{2}{x^{2}+y^{2}}\right)-\frac{2}{x^{2}+y^{2}}\cos\!\left(\frac{2}{x^{2}+y^{2}}\right)\right].

Resposta

\displaystyle \frac{\partial q}{\partial x}=\frac{3x^{2}(x^{2}+y^{2})-2x(x^{3}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{x^{4}+3x^{2}y^{2}-2x y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
\displaystyle \frac{\partial q}{\partial y}=\frac{2y(x^{2}+y^{2})-2y(x^{3}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{2x^{2}y(1-x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2x\sin\!\left(\frac{2}{x^{2}+y^{2}}\right)-\frac{4x}{x^{2}+y^{2}}\cos\!\left(\frac{2}{x^{2}+y^{2}}\right)
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2y\sin\!\left(\frac{2}{x^{2}+y^{2}}\right)-\frac{4y}{x^{2}+y^{2}}\cos\!\left(\frac{2}{x^{2}+y^{2}}\right)

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