Determine as derivadas parciais das funções:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de duas funções definidas fora da origem. As funções e as informações dadas são:
- Primeira função:
- Segunda função (a notação tinha um símbolo de integral, mas aqui vou interpretar a função como o produto):
O que é pedido para cada função: calcular
e
, isto é, as derivadas parciais em relação a
e a
.
Passo 2
Relembrando duas regras que vamos usar (sem pressa, passo a passo):
- Regra do quociente (para derivada parcial em relação a
): se com , então
onde
e
são as derivadas parciais de
e
em relação a
.
- Regra do produto + regra da cadeia: se
, então
onde
e
são derivadas parciais e usamos que
.
Passo 3
Aplicando ao primeiro caso: defina
Calcule as derivadas parciais simples:
Esses resultados vêm de diferenciar termo a termo (derivada de
em relação a
é
; de
em relação a
é
; etc.).
Passo 4
Agora calcule
usando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Subtraindo:
Portanto uma forma simplificada é
Se preferir, pode factorar um
do numerador (pois para
essa expressão é válida):
Passo 5
Agora calcule
(ainda pelo quociente), usando os
e
calculados:
Simplificando o numerador:
Portanto
Passo 6
Passando à segunda função. Defina
Para simplificar a notação, defina
e
. Assim
e usaremos produto + cadeia.
Passo 7
Calcule a derivada parcial em relação a
. Primeiro:
A derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
. Agora
Usando produto + cadeia:
Substituindo
e
:
Fatorando
(forma frequentemente mais clara):
Passo 8
De modo análogo para
: como a função é simétrica em
e
através de
, troca-se
por
nas partes que dependem do componente. Assim
e
Também pode escrever