Determine as derivadas parciais das funções: g(x, y)=x y e^{2 x y};
Passo 1
O enunciado dá a função g de duas variáveis
g(x,y)=x y e^{2 x y},
e pede para determinar as derivadas parciais \dfrac{\partial g}{\partial x} e \dfrac{\partial g}{\partial y}.
Informações relevantes: a função é produto de x y por e^{2 x y}; todas as operações usuais (produto, exponencial, multiplicação por constantes) estão presentes.
Passo 2
O que é derivada parcial (resumo didático):
A derivada parcial de g em relação a x, escrita \dfrac{\partial g}{\partial x}, é a taxa de variação de g quando x varia e y fica fixo. Analogamente, \dfrac{\partial g}{\partial y} mede a variação quando y varia e x fica fixo. Formalmente,
Derivar V em relação a y: primeiro \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x; então
\dfrac{\partial V}{\partial y}=e^{2 x y}\cdot 2x.
Aplicar a regra do produto:
\dfrac{\partial g}{\partial y}=\dfrac{\partial U}{\partial y}\,V + U\,\dfrac{\partial V}{\partial y} = x\cdot e^{2 x y} + (x y)\cdot\big(e^{2 x y}\cdot 2x\big).
Fatorando e^{2xy} e x:
\dfrac{\partial g}{\partial y}=e^{2 x y}\big(x + 2x^{2} y\big) = x e^{2 x y}\big(1+2 x y\big).
Passo 6
Exemplo numérico rápido (para fixar a ideia): calcular as derivadas no ponto (x,y)=(1,2). Usando as fórmulas finais:
\dfrac{\partial g}{\partial x}(1,2)= y e^{2xy}(1+2xy)\Big|_{(1,2)}=2 e^{4}\big(1+4\big)=10 e^{4},
\dfrac{\partial g}{\partial y}(1,2)= x e^{2xy}(1+2xy)\Big|_{(1,2)}=1\cdot e^{4}\big(1+4\big)=5 e^{4}.
Se sentir inseguro na prova, lembrar: identificar fatores comuns (aqui e^{2xy} aparece em todo lugar) e aplicar produto + cadeia com calma — isso economiza trabalho e evita erros.
Resposta
\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,y)=y e^{2 x y}\big(1+2 x y\big)
\dfrac{\partial g}{\partial y}(x,y)=x e^{2 x y}\big(1+2 x y\big)