Determine as derivadas parciais das funções:
g(x, y)=x y e^{2 x y};

Passo 1

O enunciado dá a função g de duas variáveis
g(x,y)=x y e^{2 x y},
e pede para determinar as derivadas parciais \dfrac{\partial g}{\partial x} e \dfrac{\partial g}{\partial y}.
Informações relevantes: a função é produto de x y por e^{2 x y}; todas as operações usuais (produto, exponencial, multiplicação por constantes) estão presentes.

Passo 2

O que é derivada parcial (resumo didático):
A derivada parcial de g em relação a x, escrita \dfrac{\partial g}{\partial x}, é a taxa de variação de g quando x varia e y fica fixo. Analogamente, \dfrac{\partial g}{\partial y} mede a variação quando y varia e x fica fixo. Formalmente,
\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\dfrac{g(x+h,y)-g(x,y)}{h},
\dfrac{\partial g}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\dfrac{g(x,y+h)-g(x,y)}{h}.
Aqui vamos aplicar regras de diferenciação (produto e cadeia) em vez de calcular limites diretamente — é o jeito prático na prova.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas):
  • Regra do produto: se F(x,y)=U(x,y)\,V(x,y) então
\dfrac{\partial F}{\partial x}= \dfrac{\partial U}{\partial x}\,V + U\,\dfrac{\partial V}{\partial x},
e de modo análogo para \partial/\partial y. Isso é igual à regra do produto em uma variável, só que tratando a outra como constante.
  • Regra da cadeia (para exponencial): se V(x,y)=e^{H(x,y)} então
\dfrac{\partial V}{\partial x}=e^{H(x,y)}\cdot \dfrac{\partial H}{\partial x}.
No nosso caso H(x,y)=2xy, então basta derivar H em relação à variável considerada.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial g}{\partial x} passo a passo:
Escrever g como produto de duas funções:
U(x,y)=x y,\qquad V(x,y)=e^{2 x y},\qquad g=U\,V.
Derivar U em relação a x mantendo y fixo:
\dfrac{\partial U}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(x y) = y,
porque y é constante e derivada de x é 1.
Derivar V em relação a x usando a regra da cadeia: primeiro \dfrac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y; portanto
\dfrac{\partial V}{\partial x}=e^{2 x y}\cdot 2y.
Agora aplicar a regra do produto:
\dfrac{\partial g}{\partial x}=\dfrac{\partial U}{\partial x}\,V + U\,\dfrac{\partial V}{\partial x} = y\cdot e^{2 x y} + (x y)\cdot\big(e^{2 x y}\cdot 2y\big).
Fatorando e^{2xy} e y:
\dfrac{\partial g}{\partial x}=e^{2 x y}\big(y + 2x y^{2}\big) = y e^{2 x y}\big(1+2 x y\big).

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial g}{\partial y} passo a passo:
Mesma ideia, agora mantendo x fixo. Relembrando U=x y e V=e^{2xy}.
Derivar U em relação a y:
\dfrac{\partial U}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(x y) = x.
Derivar V em relação a y: primeiro \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x; então
\dfrac{\partial V}{\partial y}=e^{2 x y}\cdot 2x.
Aplicar a regra do produto:
\dfrac{\partial g}{\partial y}=\dfrac{\partial U}{\partial y}\,V + U\,\dfrac{\partial V}{\partial y} = x\cdot e^{2 x y} + (x y)\cdot\big(e^{2 x y}\cdot 2x\big).
Fatorando e^{2xy} e x:
\dfrac{\partial g}{\partial y}=e^{2 x y}\big(x + 2x^{2} y\big) = x e^{2 x y}\big(1+2 x y\big).

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para fixar a ideia): calcular as derivadas no ponto (x,y)=(1,2). Usando as fórmulas finais:
\dfrac{\partial g}{\partial x}(1,2)= y e^{2xy}(1+2xy)\Big|_{(1,2)}=2 e^{4}\big(1+4\big)=10 e^{4},
\dfrac{\partial g}{\partial y}(1,2)= x e^{2xy}(1+2xy)\Big|_{(1,2)}=1\cdot e^{4}\big(1+4\big)=5 e^{4}.
Se sentir inseguro na prova, lembrar: identificar fatores comuns (aqui e^{2xy} aparece em todo lugar) e aplicar produto + cadeia com calma — isso economiza trabalho e evita erros.

Resposta

\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,y)=y e^{2 x y}\big(1+2 x y\big)
\dfrac{\partial g}{\partial y}(x,y)=x e^{2 x y}\big(1+2 x y\big)

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