Encontre as séries de potências e os raios de convergência para as funções especificadas abaixo no contexto solicitado.
Série de Taylor para centrada em .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor para a função centrada em . Além disso, precisamos descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e expansão em série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma maneira de escrever uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico . A fórmula geral da série de Taylor para uma função centrada em é:
onde são os coeficientes que dependem das derivadas de em .
Passo 3
Agora, para facilitar as contas, vamos manipular a função para que ela se pareça com a forma da série geométrica, que é:
Nosso objetivo é reescrever de modo que possamos aplicar essa fórmula.
Passo 4
Vamos centralizar a expansão em . Então, queremos escrever em termos de . Começamos assim:
Passo 5
Agora, comparando com a série geométrica , identificamos que . Assim, podemos escrever:
Multiplicando pela constante que tínhamos antes:
Passo 6
Simplificando a expressão, temos a série de Taylor para centrada em :
Passo 7
Para encontrar o raio de convergência, usamos a condição da série geométrica, que exige que . Aqui, , então:
Isso significa que a série converge para todos os x que satisfazem |x + 4| < 4 . O raio de convergência R é, portanto, 4.
Resposta
A série de Taylor para f(x) = 1x centrada em a = -4 é: