Encontre as séries de potências e os raios de convergência para as funções especificadas abaixo no contexto solicitado.
Série de Taylor para f(x)=1x centrada em a=-4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor para a função f(x) = 1x centrada em a = -4 . Além disso, precisamos descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e expansão em série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma maneira de escrever uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico a . A fórmula geral da série de Taylor para uma função f(x) centrada em a é:
f(x) = sumn=0^infty cn (x - a)^n
onde cn são os coeficientes que dependem das derivadas de f em a .

Passo 3

Agora, para facilitar as contas, vamos manipular a função f(x) = 1x para que ela se pareça com a forma da série geométrica, que é:
11 - t = sumn=0^infty t^n para |t| < 1
Nosso objetivo é reescrever 1x de modo que possamos aplicar essa fórmula.

Passo 4

Vamos centralizar a expansão em a = -4 . Então, queremos escrever 1x em termos de (x - (-4)) = (x + 4) . Começamos assim:
f(x) = 1x = 1-4 + (x + 4) = 1-4 (1 - x + 44) = -14 cdot 11 - x + 44

Passo 5

Agora, comparando com a série geométrica 11 - t = sumn=0^infty t^n , identificamos que t = x + 44 . Assim, podemos escrever:
11 - x + 44 = sumn=0^infty ( x + 44 )^n
Multiplicando pela constante que tínhamos antes:
f(x) = -14 sumn=0^infty ( x + 44 )^n

Passo 6

Simplificando a expressão, temos a série de Taylor para f(x) = 1x centrada em a = -4 :
f(x) = -14 sumn=0^infty ( x + 44 )^n = sumn=0^infty ( -14 ) ( x + 44 )^n

Passo 7

Para encontrar o raio de convergência, usamos a condição da série geométrica, que exige que |t| < 1 . Aqui, t = x + 44 , então:
| x + 44 | < 1 Rightarrow |x + 4| < 4
Isso significa que a série converge para todos os x que satisfazem |x + 4| < 4 . O raio de convergência R é, portanto, 4.

Resposta

A série de Taylor para f(x) = 1x centrada em a = -4 é:
1x = -14 sumn=0^infty ( x + 44 )^n
E o raio de convergência dessa série é R = 4 .

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