Exercício 18. (Apostol seção 2.12 exercícios 11 a 18). Considere os espaços vetoriais gerados pelas funções abaixo. Definamos como . Considerando a base como sendo os vetores que geram o espaço , ache a matriz que representa e nos seguintes casos: é gerado por .
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial gerado pela base e o operador linear dado por
Precisamos encontrar a matriz de e de nessa mesma base.
Passo 2
Calculamos a imagem do primeiro vetor da base:
Para expressar em coordenadas na base , escrevemos
Passo 3
Calculamos a imagem do segundo vetor da base:
Em coordenadas na base, isso é
Passo 4
A matriz de na base tem colunas dadas pelas coordenadas de e . Logo
Passo 5
Para obter a matriz de D^2, podemos simplesmente elevar ao quadrado a matriz de D: