Exercício 18. (Apostol seção 2.12 exercícios 11 a 18). Considere os espaços vetoriais V gerados pelas funções abaixo. Definamos D: V V como D(f)=d fd x. Considerando a base como sendo os vetores que geram o espaço V, ache a matriz que representa D e D^2 nos seguintes casos:
V é gerado por e^x, x e^x.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V gerado pela base e^x,;x e^x e o operador linear D:Vto V dado por
D(f) = dfdx
Precisamos encontrar a matriz de D e de D^2 = Dcirc D nessa mesma base.

Passo 2

Calculamos a imagem do primeiro vetor da base:
D(e^x) = ddxe^x = e^x
Para expressar D(e^x) em coordenadas na base e^x,;x e^x, escrevemos
D(e^x) = 1cdot e^x + 0cdot (x e^x)

Passo 3

Calculamos a imagem do segundo vetor da base:
D(x e^x) = ddx(x e^x) = e^x + x e^x
Em coordenadas na base, isso é
D(x e^x) = 1cdot e^x + 1cdot (x e^x)

Passo 4

A matriz de D na base e^x,;x e^x tem colunas dadas pelas coordenadas de D(e^x) e D(x e^x). Logo
[D]e^x,x e^x = 1 & 1 0 & 1

Passo 5

Para obter a matriz de D^2, podemos simplesmente elevar ao quadrado a matriz de D:
[D^2]e^x,x e^x = l([D]e^x,x e^xr)^2 = 1 & 1 0 & 1^2 = 1 & 2 0 & 1

Resposta

[D]e^x,x e^x = 1 & 10 & 1, [D^2]e^x,x e^x = 1 & 20 & 1

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