Usando o teorema do resíduo, calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{2 \pi} \frac{d \theta}{1+\operatorname{sen}^{2} \theta}
\int_{0}^{2 \pi} \frac{d \theta}{1+\operatorname{sen}^{2} \theta}
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular a integral
Informações dadas (explicitadas):
- Integração é sobre
de a . - A função a integrar é periódica e pode ser transformada em função racional de
para aplicar o teorema dos resíduos.
Passo 2
Idea geral e substituição complexa (aula rápida): usar
, que percorre a circunferência unitária
quando
vai de
a
. As fórmulas básicas são:
Explico:
foi escrito em termos de
usando as fórmulas de Euler
. Essa transformação converte a integral em uma integral de contorno sobre
, que podemos avaliar com o teorema dos resíduos.
Passo 3
Expressar
em
. Usando
temos
Portanto
Passo 4
Converter o integrando e
em função de
. Temos
Multiplicando por
,
Como
, isso simplifica para
Assim a integral original vira a integral de contorno
Passo 5
Analisar os polos (fatorar o denominador). Seja
. Colocando
obtemos a quadrática
Logo as raízes para
são
Numérico:
(raízes com módulo
) e
(raízes com módulo
). Portanto os polos dentro do círculo unitário
são os dois:
Ambos são polos simples, porque
não se anula simultaneamente com
em essas raízes (checaremos via cálculo do resíduo).
Passo 6
Fórmula do resíduo para polo simples e cálculo do resíduo geral. Se tivermos
com
, polo simples em
, então
Aqui
e
. Para um polo
com
temos
Note que a simplificação
no numerador/denominador foi usada.
Passo 7
Avaliar
e os resíduos concretos. Como
, então
Logo o resíduo em cada um dos polos
e
(eles têm o mesmo
) é
Há dois polos dentro da circunferência unitária, então a soma dos resíduos internos é
Passo 8
Aplicar o teorema dos resíduos e finalizar. O teorema dos resíduos diz que, para a integral de contorno dada,
Substituindo a soma encontrada:
Aqui usei
.