Usando o teorema do resíduo, calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{2 \pi} \frac{d \theta}{1+\operatorname{sen}^{2} \theta}

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular a integral
I=\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{1+\sin^{2}\theta}.
Informações dadas (explicitadas):
  • Integração é sobre \theta de 0 a 2\pi.
  • A função a integrar é periódica e pode ser transformada em função racional de e^{i\theta} para aplicar o teorema dos resíduos.

Passo 2

Idea geral e substituição complexa (aula rápida): usar z=e^{i\theta}, que percorre a circunferência unitária |z|=1 quando \theta vai de 0 a 2\pi. As fórmulas básicas são:
z=e^{i\theta},\qquad d\theta=\frac{dz}{i z},\qquad \sin\theta=\frac{z-z^{-1}}{2i}.
Explico: \sin\theta foi escrito em termos de z usando as fórmulas de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. Essa transformação converte a integral em uma integral de contorno sobre |z|=1, que podemos avaliar com o teorema dos resíduos.

Passo 3

Expressar \sin^{2}\theta em z. Usando \sin\theta=\dfrac{z-z^{-1}}{2i} temos
\sin^{2}\theta=\left(\frac{z-z^{-1}}{2i}\right)^{2}=\frac{(z^{2}-1)^{2}}{(2i z)^{2}}=\frac{(z^{2}-1)^{2}}{-4z^{2}}=-\frac{(z^{2}-1)^{2}}{4z^{2}}.
Portanto
1+\sin^{2}\theta=1-\frac{(z^{2}-1)^{2}}{4z^{2}}=\frac{4z^{2}-(z^{2}-1)^{2}}{4z^{2}}=\frac{-z^{4}+6z^{2}-1}{4z^{2}}.

Passo 4

Converter o integrando e d\theta em função de z. Temos
\frac{1}{1+\sin^{2}\theta}=\frac{4z^{2}}{-z^{4}+6z^{2}-1}=\frac{4z^{2}}{-(z^{4}-6z^{2}+1)}.
Multiplicando por d\theta=\dfrac{dz}{i z},
\frac{d\theta}{1+\sin^{2}\theta} = \frac{4z^{2}}{-z^{4}+6z^{2}-1}\cdot\frac{dz}{i z} = \frac{-4z}{i(z^{4}-6z^{2}+1)}\,dz.
Como -1/i=i, isso simplifica para
\frac{d\theta}{1+\sin^{2}\theta}=\frac{4i z}{z^{4}-6z^{2}+1}\,dz.
Assim a integral original vira a integral de contorno
I=\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{1+\sin^{2}\theta} =\oint_{|z|=1}\frac{4i z}{z^{4}-6z^{2}+1}\,dz.

Passo 5

Analisar os polos (fatorar o denominador). Seja P(z)=z^{4}-6z^{2}+1. Colocando w=z^{2} obtemos a quadrática
w^{2}-6w+1=0\quad\Rightarrow\quad w=\frac{6\pm\sqrt{36-4}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{32}}{2}=3\pm2\sqrt{2}.
Logo as raízes para z são
z=\pm\sqrt{3+2\sqrt{2}},\qquad z=\pm\sqrt{3-2\sqrt{2}}.
Numérico: 3+2\sqrt{2}\approx5,828 (raízes com módulo >1) e 3-2\sqrt{2}\approx0,1716 (raízes com módulo <1). Portanto os polos dentro do círculo unitário |z|<1 são os dois:
a=\sqrt{3-2\sqrt{2}},\qquad b=-\sqrt{3-2\sqrt{2}}.
Ambos são polos simples, porque P'(z) não se anula simultaneamente com P(z) em essas raízes (checaremos via cálculo do resíduo).

Passo 6

Fórmula do resíduo para polo simples e cálculo do resíduo geral. Se tivermos f(z)=\dfrac{N(z)}{P(z)} com P(a)=0, polo simples em a, então
\operatorname{Res}(f,a)=\frac{N(a)}{P'(a)}.
Aqui N(z)=4i z e P'(z)=4z^{3}-12z=4z(z^{2}-3). Para um polo a com a^{2}=3-2\sqrt{2} temos
\operatorname{Res}\!\left(\frac{4i z}{P(z)},a\right)=\frac{4i a}{4a^{3}-12a}=\frac{4i a}{4a(a^{2}-3)}=\frac{i}{a^{2}-3}.
Note que a simplificação 4a no numerador/denominador foi usada.

Passo 7

Avaliar a^{2}-3 e os resíduos concretos. Como a^{2}=3-2\sqrt{2}, então
a^{2}-3=(3-2\sqrt{2})-3=-2\sqrt{2}.
Logo o resíduo em cada um dos polos a e b (eles têm o mesmo a^{2}) é
\operatorname{Res}=\frac{i}{a^{2}-3}=\frac{i}{-2\sqrt{2}}=-\frac{i}{2\sqrt{2}}.
Há dois polos dentro da circunferência unitária, então a soma dos resíduos internos é
\sum \operatorname{Res} = 2\left(-\frac{i}{2\sqrt{2}}\right)=-\frac{i}{\sqrt{2}}.

Passo 8

Aplicar o teorema dos resíduos e finalizar. O teorema dos resíduos diz que, para a integral de contorno dada,
\oint_{|z|=1}\frac{4i z}{z^{4}-6z^{2}+1}\,dz=2\pi i\sum_{\text{polos int.}}\operatorname{Res}.
Substituindo a soma encontrada:
I=2\pi i\left(-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)=2\pi\frac{-i^{2}}{\sqrt{2}}=2\pi\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\,\pi.
Aqui usei i\cdot(-i)=-i^{2}=1.

Resposta

\pi\sqrt{2}

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