Encontre um Sistema Completo de Resíduos módulo 13 formado apenas por múltiplos de 11 .
Passo 1
O enunciado pede: encontrar um Sistema Completo de Resíduos módulo
que seja formado somente por múltiplos de
.
Informações fornecidas:
- O módulo é
. - Devemos usar apenas números que sejam múltiplos de
(isto é, números da forma com inteiro) como representantes das classes modulo . - A pergunta é: quais
múltiplos de fornecem um conjunto que representa todas as classes residuais modulo sem repetições?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um Sistema Completo de Resíduos módulo
. Uma coleção de
inteiros forma um sistema completo de resíduos modulo
se, ao reduzir cada um módulo
, obtém-se exatamente todas as classes
, sem repetição. Ou seja, cada resto representado aparece uma única vez entre
e
.
Explicação didática: pensar em multiplicar todos os inteiros
por um certo número
. Se a multiplicação por
não “colide” dois valores diferentes (ou seja, se
for invertível modulo
), então
será exatamente um permutação de
, logo é um sistema completo de resíduos.
Passo 3
Verifiquemos se
é invertível módulo
. Para isso basta notar que
, porque
é primo e não divide
. Quando
, o número
tem inverso multiplicativo módulo
, e a função
é bijetora no conjunto de classes mod
.
Aqui, como
, a multiplicação por
permuta as classes mod
. Logo, o conjunto
é um sistema completo de resíduos módulo
.
Passo 4
Para reforçar a propriedade de bijetividade de forma elementar, mostramos a cancelação: se
então
. Como
é invertível módulo
, segue
, ou seja
. Assim não há colisões entre
e
para
(mod
).
Também podemos encontrar explicitamente o inverso de
módulo
. Note que
porque
é múltiplo de
. Portanto
é o inverso de
módulo
.
Passo 5
Agora vamos construir explicitamente os
múltiplos de
reduzidos ao resto mínimo em
. Para cada
calculamos
e reduzimos módulo
:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . Como , então . - Para
: . Como , então . - Para
: . Como , então . - Para
: . Como , então . - Para
: . Como visto, . - Para
: . Como , então . - Para
: . Como , então . - Para
: . Como , então . - Para
: . Como , então . - Para
: . Como , então . - Para
: . Como , então .
Reunindo os restos na ordem
obtemos
Passo 6
Observação final e verificação: a lista acima contém exatamente os
restos distintos de
a
(apenas permutados), logo é de fato um sistema completo de resíduos módulo
. Assim, um sistema pedido é o conjunto dos múltiplos de
reduzidos módulo
, conforme listado.