Encontre um Sistema Completo de Resíduos módulo 13 formado apenas por múltiplos de 11 .

Passo 1

O enunciado pede: encontrar um Sistema Completo de Resíduos módulo 13 que seja formado somente por múltiplos de 11.
Informações fornecidas:
  • O módulo é 13.
  • Devemos usar apenas números que sejam múltiplos de 11 (isto é, números da forma 11k com k inteiro) como representantes das classes modulo 13.
  • A pergunta é: quais 13 múltiplos de 11 fornecem um conjunto que representa todas as classes residuais modulo 13 sem repetições?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um Sistema Completo de Resíduos módulo 13. Uma coleção de 13 inteiros forma um sistema completo de resíduos modulo 13 se, ao reduzir cada um módulo 13, obtém-se exatamente todas as classes \{0,1,2,\dots,12\}, sem repetição. Ou seja, cada resto representado aparece uma única vez entre 0 e 12.
Explicação didática: pensar em multiplicar todos os inteiros k\in\{0,1,\dots,12\} por um certo número a. Se a multiplicação por a não “colide” dois valores diferentes (ou seja, se a for invertível modulo 13), então \{a\cdot k \bmod 13 : k=0,\dots,12\} será exatamente um permutação de \{0,1,\dots,12\}, logo é um sistema completo de resíduos.

Passo 3

Verifiquemos se 11 é invertível módulo 13. Para isso basta notar que \gcd(11,13)=1, porque 13 é primo e não divide 11. Quando \gcd(a,n)=1, o número a tem inverso multiplicativo módulo n, e a função
k \longmapsto a\cdot k \pmod{n}
é bijetora no conjunto de classes mod n.
Aqui, como \gcd(11,13)=1, a multiplicação por 11 permuta as classes mod 13. Logo, o conjunto
\{11\cdot k \pmod{13} \mid k=0,1,\dots,12\}
é um sistema completo de resíduos módulo 13.

Passo 4

Para reforçar a propriedade de bijetividade de forma elementar, mostramos a cancelação: se
11a \equiv 11b \pmod{13},
então 11(a-b)\equiv 0\pmod{13}. Como 11 é invertível módulo 13, segue a-b\equiv 0\pmod{13}, ou seja a\equiv b\pmod{13}. Assim não há colisões entre 11a e 11b para a\neq b (mod 13).
Também podemos encontrar explicitamente o inverso de 11 módulo 13. Note que
11\cdot 6 = 66 \equiv 1 \pmod{13},
porque 66-1=65 é múltiplo de 13. Portanto 6 é o inverso de 11 módulo 13.

Passo 5

Agora vamos construir explicitamente os 13 múltiplos de 11 reduzidos ao resto mínimo em \{0,\dots,12\}. Para cada k=0,1,\dots,12 calculamos 11k e reduzimos módulo 13:
  • Para k=0: 11\cdot 0 = 0 \equiv 0 \pmod{13}.
  • Para k=1: 11\cdot 1 = 11 \equiv 11 \pmod{13}.
  • Para k=2: 11\cdot 2 = 22. Como 22-13=9, então 22\equiv 9 \pmod{13}.
  • Para k=3: 11\cdot 3 = 33. Como 33-26=7, então 33\equiv 7 \pmod{13}.
  • Para k=4: 11\cdot 4 = 44. Como 44-39=5, então 44\equiv 5 \pmod{13}.
  • Para k=5: 11\cdot 5 = 55. Como 55-52=3, então 55\equiv 3 \pmod{13}.
  • Para k=6: 11\cdot 6 = 66. Como visto, 66\equiv 1 \pmod{13}.
  • Para k=7: 11\cdot 7 = 77. Como 77-65=12, então 77\equiv 12 \pmod{13}.
  • Para k=8: 11\cdot 8 = 88. Como 88-78=10, então 88\equiv 10 \pmod{13}.
  • Para k=9: 11\cdot 9 = 99. Como 99-91=8, então 99\equiv 8 \pmod{13}.
  • Para k=10: 11\cdot 10 = 110. Como 110-104=6, então 110\equiv 6 \pmod{13}.
  • Para k=11: 11\cdot 11 = 121. Como 121-117=4, então 121\equiv 4 \pmod{13}.
  • Para k=12: 11\cdot 12 = 132. Como 132-130=2, então 132\equiv 2 \pmod{13}.
Reunindo os restos na ordem k=0,1,\dots,12 obtemos
\{0,\,11,\,9,\,7,\,5,\,3,\,1,\,12,\,10,\,8,\,6,\,4,\,2\}.

Passo 6

Observação final e verificação: a lista acima contém exatamente os 13 restos distintos de 0 a 12 (apenas permutados), logo é de fato um sistema completo de resíduos módulo 13. Assim, um sistema pedido é o conjunto dos múltiplos de 11 reduzidos módulo 13, conforme listado.

Resposta

\{0,\,11,\,9,\,7,\,5,\,3,\,1,\,12,\,10,\,8,\,6,\,4,\,2\}

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