Três garimpeiros encontraram um saco de pedras de ouro. Ao tentar dividir as pedras igualmente entre os 3 , sobrou 2 pedras. Se tentassem dividir por 5, sobrariam 4 pedras. Se tentassem dividir por 7, sobrariam 3 pedras. Qual é a menor quantidade possível de pedras de ouro que eles podem encontrar?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Pergunta: qual é a menor quantidade possível de pedras de ouro que satisfaz todas as condições do enunciado?
  • Informações (peguei do enunciado):
    • Ao dividir as pedras por 3 sobra 2. Ou seja, n \equiv 2 \pmod{3}.
    • Ao dividir por 5 sobra 4. Ou seja, n \equiv 4 \pmod{5}.
    • Ao dividir por 7 sobra 3. Ou seja, n \equiv 3 \pmod{7}.

Passo 2

Explicando a ideia que vou usar (passo a passo, sem assumir que já sabe):
  • Uma congruência do tipo n \equiv a \pmod{m} significa que ao dividir n por m o resto é a. Em outras palavras, existem inteiros k tais que n = a + m k.
  • Quando temos várias congruências como aqui, uma forma prática de resolver é combinar duas congruências de cada vez, encontrando uma congruência equivalente com módulo igual ao mínimo múltiplo comum (quando os módulos são primos entre si, o MMC é o produto).
  • Vou primeiro combinar as duas primeiras congruências ( 3 e 5), encontrando uma fórmula geral para n que já satisfaça essas duas. Depois uso essa fórmula para impor a condição do módulo 7.

Passo 3

Resolver as primeiras duas congruências:
n \equiv 2 \pmod{3},\qquad n \equiv 4 \pmod{5}.
Método algébrico (bem didático):
  • Escrevo n a partir da primeira congruência: n = 2 + 3k,onde k é inteiro.
  • Substituo na segunda congruência: 2 + 3k \equiv 4 \pmod{5}.Subtraindo 2 dos dois lados: 3k \equiv 2 \pmod{5}.
  • Agora precisamos achar k que satisfaça isso. O número 3 tem inverso módulo 5 porque \gcd(3,5)=1. O inverso de 3 modulo 5 é 2 porque 3\cdot2=6\equiv1\pmod{5}. Multiplicando ambos os lados por esse inverso: k \equiv 2\cdot 2 \pmod{5}\quad\Rightarrow\quad k \equiv 4 \pmod{5}.
  • Logo k = 4 + 5t para algum inteiro t. Substituindo de volta em n: n = 2 + 3(4+5t) = 2 + 12 + 15t = 14 + 15t.
  • Conclusão: qualquer n que satisfaça as duas primeiras congruências tem a forma n \equiv 14 \pmod{15}.
(Comentário rápido e intuitivo: listar os números 2,5,8,11,14,\dots congruentes a 2 mod 3 levaria a encontrar 14 como o primeiro que também deixa resto 4 ao dividir por 5. O procedimento algébrico acima é o mesmo raciocínio, só mais sistemático.)

Passo 4

Agora imponho a terceira congruência usando a fórmula encontrada:
n = 14 + 15t,
e quero que também valha
n \equiv 3 \pmod{7}.
Substituindo:
14 + 15t \equiv 3 \pmod{7}.
Simplifico os coeficientes módulo 7:
  • 14 \equiv 0 \pmod{7} porque 14 é múltiplo de 7.
  • 15 \equiv 1 \pmod{7} porque 15-14=1.
    Portanto a congruência fica muito simples:
0 + 1\cdot t \equiv 3 \pmod{7}\quad\Rightarrow\quad t \equiv 3 \pmod{7}.

Passo 5

Do resultado t \equiv 3 \pmod{7} segue que os valores de t são da forma t = 3 + 7s com inteiro s. Para obter o menor n>0 pegamos o menor t\ge 0 que satisfaça isso, que é t=3. Substituo em n = 14 + 15t:
n = 14 + 15\cdot 3 = 14 + 45 = 59.

Passo 6

Verificação (para eu te dar confiança de que está certo):
  • 59 \div 3 deixa resto 59 - 3\cdot19 = 59 - 57 = 2, então 59 \equiv 2 \pmod{3}.
  • 59 \div 5 deixa resto 59 - 5\cdot11 = 59 - 55 = 4, então 59 \equiv 4 \pmod{5}.
  • 59 \div 7 deixa resto 59 - 7\cdot8 = 59 - 56 = 3, então 59 \equiv 3 \pmod{7}.
Tudo confere.

Passo 7

Observação sobre a unicidade: como os módulos 3, 5 e 7 são pareswise coprimos, o Teorema Chinês dos Restos garante que as soluções formam uma classe única módulo 3\cdot5\cdot7=105. Ou seja, todas as soluções positivas são
n \in \{59,\,59+105,\,59+2\cdot105,\dots\},
e portanto a menor solução positiva é mesmo 59.

Resposta

59

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