(2,0) Encontre um Sistema Completo de Resíduos módulo 13 formado apenas por múltiplos de 5 .

Passo 1

O enunciado pede: encontrar um sistema completo de resíduos módulo 13 formado apenas por múltiplos de 5.
Informações dadas:
  • O módulo é 13.
  • Precisa-se de um conjunto com exatamente 13 inteiros (ou classes) que representem todas as classes residuais mod 13 distintas.
  • Todos os elementos desse conjunto devem ser múltiplos de 5 (isto é, números da forma 5k, k\in\mathbb{Z}).

Passo 2

Conceito importante (o que é um sistema completo de resíduos): um conjunto de n inteiros \{r_0,\dots,r_{n-1}\} é um sistema completo de resíduos módulo n se, ao reduzir cada r_i módulo n, obtém-se todas as classes 0,1,\dots,n-1 exatamente uma vez. Ou seja, os resíduos mod n dos elementos do conjunto são todos distintos e cobrem todas as classes mod n.
Vou explicar devagar e com exemplo: por exemplo, \{0,1,2\} é um sistema completo de resíduos módulo 3 porque seus resíduos são 0,1,2. Já \{0,3,6\} não é, porque todos são congruentes a 0 mod 3.

Passo 3

Estratégia geral que vamos usar (sem resolver ainda): considerar os múltiplos de 5,
\{5k : k=0,1,\dots,12\},
e mostrar que, ao reduzir módulo 13, esses 13 números dão resíduos distintos — então formam um sistema completo de resíduos módulo 13.
Para justificar isso é útil um fato geral: se \gcd(a,n)=1, então os números a\cdot 0,\;a\cdot 1,\;\dots,\;a\cdot(n-1) formam um sistema completo de resíduos módulo n. Vou provar esse fato na próxima etapa.

Passo 4

Prova do fato geral (passo-a-passo e bem didático):
  1. Suponha \gcd(a,n)=1. Considere a k e a \ell com 0\le k,\ell\le n-1.
  2. Se a k\equiv a \ell\pmod{n}, então a(k-\ell)\equiv 0\pmod{n}.
  3. Como \gcd(a,n)=1, o único múltiplo de a que é congruente a 0 módulo n ocorre quando k-\ell\equiv 0\pmod{n}. Formalmente, existe m tal que a(k-\ell)=mn. Pelo teorema da divisibilidade, como a é invertível módulo n, isto implica k-\ell\equiv 0\pmod{n}.
  4. Logo k\equiv \ell\pmod{n}. Mas k,\ell estão entre 0 e n-1, então isso força k=\ell.
  5. Conclusão: os n valores a\cdot 0,\dots,a\cdot(n-1) são todos distintos módulo n. Como há exatamente n classes mod n, esses valores representam todas as classes — portanto formam um sistema completo de resíduos módulo n.
Comentário intuitivo: multiplicar por a com \gcd(a,n)=1 “permuta” as classes mod n, não cria colisões.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso: aqui a=5 e n=13.
Calcular \gcd(5,13). Como 13 é primo e 5 não é múltiplo de 13, temos
\gcd(5,13)=1.
Pelo resultado acima, os 13 números 5\cdot 0,\;5\cdot 1,\;\dots,\;5\cdot 12 formam um sistema completo de resíduos módulo 13.

Passo 6

Agora vou listar esses múltiplos e reduzir cada um módulo 13 para ver explicitamente os resíduos (faço as contas passo a passo, para você conseguir reproduzir na prova sem calculadora):
  • 5\cdot 0 = 0. Redução: 0.
  • 5\cdot 1 = 5. Redução: 5.
  • 5\cdot 2 = 10. Redução: 10.
  • 5\cdot 3 = 15 = 13+2. Redução: 2.
  • 5\cdot 4 = 20 = 13+7. Redução: 7.
  • 5\cdot 5 = 25 = 13+12. Redução: 12.
  • 5\cdot 6 = 30 = 13\cdot 2 +4. Redução: 4.
  • 5\cdot 7 = 35 = 13\cdot 2 +9. Redução: 9.
  • 5\cdot 8 = 40 = 13\cdot 3 +1. Redução: 1.
  • 5\cdot 9 = 45 = 13\cdot 3 +6. Redução: 6.
  • 5\cdot 10 = 50 = 13\cdot 3 +11. Redução: 11.
  • 5\cdot 11 = 55 = 13\cdot 4 +3. Redução: 3.
  • 5\cdot 12 = 60 = 13\cdot 4 +8. Redução: 8.
Lista dos resíduos obtidos (na ordem dos k de 0 a 12):
0,\;5,\;10,\;2,\;7,\;12,\;4,\;9,\;1,\;6,\;11,\;3,\;8.

Passo 7

Verificação final e conclusão didática:
  • Os resíduos listados são 0,1,2,\dots,12 em alguma ordem? Sim — olhando a lista: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 aparecem exatamente uma vez cada (por exemplo, 1 aparece como 5\cdot 8, 2 como 5\cdot 3, etc.).
  • Portanto os 13 múltiplos de 5 que coloquei representam todas as classes mod 13 sem repetição, logo formam um sistema completo de resíduos módulo 13.
Dica prática para prova: sempre que precisar de um sistema completo de resíduos formado por múltiplos de a, verifique \gcd(a,n)=1. Se for 1, os múltiplos a\cdot 0,\dots,a\cdot(n-1) servem imediatamente.

Resposta

\{0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60\}

Exercícios relacionados