(a) Encontre um sistema de duas equações lineares, nas variáveis x_{1}, x_{2} e x_{3}, cujo conjunto solução seja dado pelas equações paramétricas x_{1}=t, x_{2}=1+t e x_{3}=2-t.
(b) Encontre uma outra solução paramétrica, para o sistema do item (a), na qual o parâmetro seja s e x_{3}=s.

Passo 1

O enunciado dá a solução paramétrica
x_{1}=t,\quad x_{2}=1+t,\quad x_{3}=2-t,
que é uma reta em \mathbb{R}^3. Para encontrar o sistema de duas equações lineares cujas soluções são exatamente esses pontos, basta eliminar o parâmetro t.

Passo 2

Como x_{1}=t, substituímos em x_{2}=1+t e em x_{3}=2-t:
x_{2}=1+x_{1}, \qquad x_{3}=2-x_{1}.

Passo 3

Reescrevendo essas duas relações na forma padrão de equação linear, obtemos
-x_{1}+x_{2}=1,
\;x_{1}+x_{3}=2.
Portanto, um sistema que tem exatamente a solução dada é
\begin{cases} -\,x_{1}+x_{2}=1,\\[6pt] \;x_{1}+x_{3}=2. \end{cases}]

Passo 4

Para uma outra parametrização em que o parâmetro seja s e satisfaça x_{3}=s, observe pela forma original que
x_{3}=2-t=s \quad\Longrightarrow\quad t=2-s.

Passo 5

Substituindo t=2-s em x_{1}=t e x_{2}=1+t, vem
x_{1}=2-s, \qquad x_{2}=1+(2-s)=3-s, \qquad x_{3}=s.

Resposta

(a)
\begin{cases} -\,x_{1}+x_{2}=1,\\\ x_{1}+x_{3}=2. \end{cases}
(b)
x_{1}=2-s,\quad x_{2}=3-s,\quad x_{3}=s.

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