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Encontre sobre a curva
(Hipérbole), o(s) ponto(s) mais próximo do ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o(s) ponto(s) da hipérbole
que estejam mais próximos do ponto
. Como a distância é sempre positiva e fica mais simples, vamos minimizar o quadrado da distância de um ponto
até
.
Passo 2
Definimos a função objetivo
e a restrição da hipérbole
Usaremos multiplicadores de Lagrange para incorporar a restrição.
Passo 3
O método de Lagrange exige
Calculamos os gradientes:
Logo o sistema é
Passo 4
Da primeira componente:
se
então
. Note que
não satisfaz
, pois daria
, impossível em
.
Passo 5
Substituindo
na segunda componente:
Passo 6
Com
na restrição
temos
Resposta
Os pontos da hipérbole mais próximos de
são