Resumo do enunciado: temos a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea . Aqui o conteúdo é ‘equações lineares de segunda ordem’ e vamos resolver pelo método de variação de parâmetros, que requer primeiro achar a solução geral da homogênea, o Wronskiano das soluções fundamentais e depois determinar uma solução particular.
Passo 2
Para achar a solução da homogênea , montamos a equação característica , cujas raízes são . Logo, as soluções fundamentais são e , e a solução geral homogênea fica
Passo 3
Calculamos o Wronskiano de e para confirmar que estão independentes:
Como Wneq0, podemos aplicar variação de parâmetros.
Passo 4
Aplicamos as fórmulas de variação de parâmetros. Chamando g(t)=sec t, temos
u1'(t)=-g(t),y2(t)W(t)=-sec tsin t=-tan t,
u2'(t)=g(t),y1(t)W(t)=sec tcos t=1
Passo 5
Integramos para obter u1 e u2:
u1(t)=integral -tan t,dt=ln|cos t|,
u2(t)=integral 1,dt= t
(As constantes de integração são absorvidas na solução homogênea.)
Passo 6
A solução particular é dada por
yp(t)=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t)=ln|cos t|cos t + tsin t
Passo 7
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular.
Resposta
y(t)=C1cos t + C2sin t + cos t,ln|cos t| + tsin t.