Encontre a solução geral de cada uma das equaçÔes diferenciais usando o método de Variação dos Parùmetros.
y^prime prime+y=sec t

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea y'' + y = sec t. Aqui o conteúdo é ‘equações lineares de segunda ordem’ e vamos resolver pelo método de variação de parâmetros, que requer primeiro achar a solução geral da homogênea, o Wronskiano das soluções fundamentais e depois determinar uma solução particular.

Passo 2

Para achar a solução da homogênea y''+y=0, montamos a equação característica r^2+1=0, cujas raízes são r=pm i. Logo, as soluções fundamentais são y1(t)=cos t e y2(t)=sin t, e a solução geral homogênea fica
yc(t)=C1cos t + C2sin t

Passo 3

Calculamos o Wronskiano de y1 e y2 para confirmar que estão independentes:
W(t)=cos t & sin t -sin t & cos t=cos^2t+sin^2t=1
Como Wneq0, podemos aplicar variação de parâmetros.

Passo 4

Aplicamos as fórmulas de variação de parâmetros. Chamando g(t)=sec t, temos
u1'(t)=-g(t),y2(t)W(t)=-sec tsin t=-tan t,
u2'(t)=g(t),y1(t)W(t)=sec tcos t=1

Passo 5

Integramos para obter u1 e u2:
u1(t)=integral -tan t,dt=ln|cos t|,
u2(t)=integral 1,dt= t
(As constantes de integração são absorvidas na solução homogênea.)

Passo 6

A solução particular é dada por
yp(t)=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t)=ln|cos t|cos t + tsin t

Passo 7

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular.

Resposta

y(t)=C1cos t + C2sin t + cos t,ln|cos t| + tsin t.

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