Nos items a seguir, esboce o sólido limitado pelos gráficos das expressões dadas e use uma integral tripla para obter seu volume.
z=4 y^2 ; z=2 ; x=2 ; x=0

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido limitado pelas superfícies z=4y^2, z=2, x=0 e x=2. O conteúdo aqui é integral tripla para volume, e vamos precisar achar primeiro a projeção no plano xy.

Passo 2

Para determinar a região de projeção D no plano xy, observamos que z varia de 4y^2 até 2. A interseção ocorre quando 4y^2=2, ou seja:
y^2=tfrac12Longrightarrow y=pmtfrac1raiz2
Logo, y vai de -1/raiz2 até 1/raiz2, e dado que x está entre 0 e 2, temos
D:,0<= x<=2, -tfrac1raiz2<= y<=tfrac1raiz2

Passo 3

Agora montamos a integral tripla para o volume:
V=integralx=0^2integraly=-1/raiz2^1/raiz2integralz=4y^2^2dz,dy,dx
Aqui usamos que o volume é integral triplaregião1,dVã.

Passo 4

Começamos integrando em z:
integralz=4y^2^2dz=l[zr]4y^2^2=2-4y^2
Assim a integral fica
V=integral0^2integral-1/raiz2^1/raiz2(2-4y^2),dy,dx

Passo 5

Agora integramos em y: seja a=1/raiz2. Então
integral-a^a(2-4y^2)dy=integral-a^a2,dy-4integral-a^ay^2,dy
Calculamos separadamente:
integral-a^a2,dy=2cdot(2a)=4a=4/raiz2=2raiz2,
integral-a^ay^2,dy=2integral0^ay^2dy=2cdota^33=2a^33=23(raiz2)^3=13raiz2
Logo
integral-a^a(2-4y^2)dy=2raiz2-4cdot13raiz2=4raiz23

Passo 6

Por fim integramos em x, que só multiplica pelo comprimento em x:
V=integral0^24raiz23,dx=4raiz23cdot2=8raiz23

Resposta

V=8raiz23

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