Encontre a solução geral de cada uma das equaçÔes diferenciais usando o método de Variação dos Parùmetros.
y^prime prime+2 y^prime+y=e^-t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y'' + 2y' + y = e^-t usando o método de variação de parâmetros. Esse é um problema de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Para aplicar variação de parâmetros, vamos precisar primeiro da solução geral da equação homogênea associada.

Passo 2

Vamos achar a solução homogênea resolvendo a equação característica associada à EDO homogênea y'' + 2y' + y = 0.
A equação característica é
r^2 + 2r + 1 = 0
Resolvendo, obtemos r = -1 com multiplicidade 2. Portanto, a solução geral homogênea é
yh(t) = (C1 + C2 t)e^-t

Passo 3

Para usar variação de parâmetros, identificamos um sistema fundamental de soluções da homogênea:
y1(t) = e^-t,
y2(t) = t e^-t
Em seguida, calculamos o Wronskiano:
W(t) = y1 & y2 y1' & y2'
Como y1' = -e^-t e y2' = e^-t - t e^-t, temos
W(t) = e^-t(e^-t - t e^-t) - (-e^-t)(t e^-t) = e^-2t

Passo 4

Pelo método de variação de parâmetros, as derivadas das funções auxiliares u1'(t) e u2'(t) são dadas por
u1'(t) = -y2(t),g(t)W(t), nu2'(t) = y1(t),g(t)W(t),
onde g(t) é o termo não homogêneo dividido pelo coeficiente de y'', aqui g(t)=e^-t. Substituindo, obtemos
u1'(t) = -t e^-tcdot e^-te^-2t = -t,
v2'(t) = e^-tcdot e^-te^-2t = 1
Integrando, achamos
u1(t) = -tfract^22 + K1, nu2(t) = t + K2
Como quaisquer constantes de integração em u1 e u2 podem ser absorvidas em C1 e C2, podemos escolher K1 = K2 = 0.

Passo 5

A solução particular é
yp(t) = nu1(t)y1(t) + nu2(t)y2(t)
Substituindo nu1 = -t^2/2, nu2 = t, y1 = e^-t e y2 = te^-t, vem
yp(t) = l(-tfract^22r)e^-t + t,(t e^-t) = tfract^22e^-t

Passo 6

A solução geral da EDO original é a soma da parte homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = (C1 + C2 t)e^-t + tfract^22e^-t = e^-tl(C1 + C2 t + tfract^22r)

Resposta

y(t) = e^-tl(C1 + C2 t + tfract^22r)

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