Verifique se as séries abaixo são convergentes ou não e obtenha sua soma quando forem convergentes.
sumn=2^+infty 13^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=2^infty 13^n converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. Esse problema cai no conteúdo de séries numéricas, mais especificamente séries geométricas, e vamos usar o critério de convergência para séries geométricas e a fórmula da soma quando a razão satisfaz |r|<1.

Passo 2

Perceba que o termo geral da série é an = 13^n = l(tfrac13r)^n. Ou seja, trata-se de uma série geométrica de razão r = tfrac13. Como |r| = tfrac13 < 1, o critério de séries geométricas nos garante que a série converge.

Passo 3

Para calcular a soma, podemos reescrever a soma começando em n=0. Fazendo a troca de índice k = n-2 obtemos
sumn=2^infty 13^n = sumk=0^infty 13^k+2 = 13^2sumk=0^infty l(tfrac13r)^k
Sabendo que sumk=0^infty r^k = 11-r para |r|<1, temos
sumn=2^infty 13^n = 1/91 - tfrac13 = 1/9tfrac23 = 16

Resposta

A série é convergente e sua soma é tfrac16.

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