Encontre a solução geral das seguintes de primeira ordem e.d.o. lineares :
. (Aqui pode usar também separação de variáveis).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado pede e qual é o conteúdo envolvido: temos uma equação diferencial de primeira ordem linear homogênea, escrita como
. Para resolver, podemos usar separação de variáveis ou fator integrante. Vamos usar fator integrante, pois é um método padrão para equações lineares.
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma padrão
dividindo tudo por
:
Passo 3
Calculamos o fator integrante
. Então fazemos:
Ignorando a constante de integração neste passo, obtemos:
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. Ficamos com:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, ou seja:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, isolamos
para obter a solução geral:
Resposta
y(x)=\dfrac{C}{\sqrt{x^{2}+9}}