Encontre a solução geral das seguintes de primeira ordem e.d.o. lineares :
. (Aqui pode usar também separação de variáveis).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado pede e qual é o conteúdo envolvido: temos uma equação diferencial de primeira ordem linear homogênea, escrita como (x^2+9) y' + x y = 0. Para resolver, podemos usar separação de variáveis ou fator integrante. Vamos usar fator integrante, pois é um método padrão para equações lineares.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão y' + p(x),y = 0 dividindo tudo por x^2+9:
y' + xx^2+9,y = 0 Aqui identificamos:
p(x)=xx^2+9

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral p(x),dx. Então fazemos:
integral p(x),dx=integral xx^2+9,dx=12lnl(x^2+9r)+C
Ignorando a constante de integração neste passo, obtemos:
mu(x)=e^12ln(x^2+9)=raizx^2+9

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x). Ficamos com:
raizx^2+9,y' + xraizx^2+9,y = 0
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto raizx^2+9,y, ou seja:
ddxl(raizx^2+9,yr)=0

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
raizx^2+9,y = C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos y para obter a solução geral:
y(x)=Craizx^2+9

Resposta

y(x)=\dfrac{C}{\sqrt{x^{2}+9}}

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