Encontre a solução geral das seguintes de primeira ordem e.d.o. lineares :
y^prime+3 x^2 y=e^-x^3+x.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
y' + 3x^2,y = e^-x^3 + x
Aqui o conteúdo é o método do fator integrante para equações da forma y' + p(x)y = g(x). Vamos usar esse método para encontrar y(x).

Passo 2

Primeiro calculamos o fator integrante obtemos
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral 3x^2,dx = e^x^3] Mu
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^x^3y' + 3x^2 e^x^3y = e^x^3e^-x^3+x = e^x, ou seja,
e^x^3y

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^x^3y = integral e^x,dx = e^x + C,
onde C é a constante de integração. Por fim, isolamos y:
$$y(x) = e{-x3}\bigl(e^x + C\bigr) = e^{x - x^3} + C e{-x3}.
$$

Resposta

A solução geral é y(x) = e^x - x^3 + C e^-x^3, onde C é constante arbitrária.

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