Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I: Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere $\log (|y|)$ quando for o caso.
log (|y|).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO separável
e^t+y,y'=e^2t-y
usando a técnica de separação de variáveis e cuidar das indefinições que surgem ao dividir por funções que podem se anular. Vamos precisar lembrar que y'=dydt e que integrais de exponenciais são diretas.

Passo 2

Primeiro isolamos y'. Dividindo ambos os lados por e^t+y, obtemos
y' = dydt = e^2t-y - (t+y) = e^t-2y

Passo 3

Em seguida separamos as variáveis, colocando todos os termos em y de um lado e em t do outro:
e^2y,dy = e^t,dt

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Do lado esquerdo,
$$\int e^{2y},dy = \frac{1}{2}e^{2y} + C_1.
$$
Do lado direito,
integral e^2y,dy = 12e^2y + C1

Passo 5

Reunindo as constantes numa só constante C, temos
$$\frac{1}{2}e^{2y} = e^t + C.
$$
Multiplicando por 2:
12e^2y = e^t + C
onde e^2y = 2e^t + C', é constante arbitrária.

Passo 6

Finalmente, aplicamos o logaritmo (lembrando de usar o valor absoluto dentro do ln):
2y = lnl|2e^t + C'r| Longrightarrow y(t) = 12lnl|2e^t + C'r|

Passo 7

Não houve divisão por expressão que pode ser zero (pois e^t+y>0 sempre), mas para garantir a definição do ln usamos valor absoluto no argumento.

Resposta

y(t) = tfrac12lnl|2e^t + Cr|, onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados