usando a técnica de separação de variáveis e cuidar das indefinições que surgem ao dividir por funções que podem se anular. Vamos precisar lembrar que e que integrais de exponenciais são diretas.
Passo 2
Primeiro isolamos . Dividindo ambos os lados por , obtemos
Passo 3
Em seguida separamos as variáveis, colocando todos os termos em de um lado e em do outro:
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. Do lado esquerdo,
$$\int e^{2y},dy = \frac{1}{2}e^{2y} + C_1.
$$
Do lado direito,
Passo 5
Reunindo as constantes numa só constante , temos
$$\frac{1}{2}e^{2y} = e^t + C.
$$
Multiplicando por 2:
onde é constante arbitrária.
Passo 6
Finalmente, aplicamos o logaritmo (lembrando de usar o valor absoluto dentro do ):
Passo 7
Não houve divisão por expressão que pode ser zero (pois e^t+y>0 sempre), mas para garantir a definição do ln usamos valor absoluto no argumento.
Resposta
y(t) = tfrac12lnl|2e^t + Cr|, onde C é constante arbitrária.