Sejam A e B dois subconjuntos de R, sendo B limitado. Mostre que:
inf B <= inf A <= sup A <= sup B

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois subconjuntos de R, Asubseteq B e sabendo que B é limitado, vale a cadeia de desigualdades inf B <= inf A <= sup A <= sup B. O conteúdo principal envolve as definições de ínfimo (maior lower bound) e supremo (menor upper bound) de um conjunto e a propriedade de herança de bounds quando um conjunto está contido em outro.

Passo 2

Como B é limitado em R, existem inf B e sup B. Pela definição de ínfimo, para todo xin B temos
inf B <= x
Como Asubseteq B, isso vale também para todo xin A. Logo inf B é um lower bound de A. Como inf A é o maior lower bound de A, concluímos
inf B <= inf A

Passo 3

Novamente, pela definição de supremo, para todo xin B vale
x <= sup B
Como Asubseteq B, esse mesmo sup B serve de upper bound para A. E, como sup A é o menor upper bound de A, temos
sup A <= sup B

Passo 4

Por fim, em qualquer conjunto onde existem ínfimo e supremo, vale que o ínfimo não pode ultrapassar o supremo. Assim,
inf A <= sup A,
o que termina a demonstração da cadeia de desigualdades.

Resposta

inf B <= inf A <= sup A <= sup B

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