Sejam
e
dois subconjuntos de
, sendo
limitado. Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois subconjuntos de
,
e sabendo que
é limitado, vale a cadeia de desigualdades
. O conteúdo principal envolve as definições de ínfimo (maior lower bound) e supremo (menor upper bound) de um conjunto e a propriedade de herança de bounds quando um conjunto está contido em outro.
Passo 2
Como
é limitado em
, existem
e
. Pela definição de ínfimo, para todo
temos
Como
, isso vale também para todo
. Logo
é um lower bound de
. Como
é o maior lower bound de
, concluímos
Passo 3
Novamente, pela definição de supremo, para todo
vale
Como
, esse mesmo
serve de upper bound para
. E, como
é o menor upper bound de
, temos
Passo 4
Por fim, em qualquer conjunto onde existem ínfimo e supremo, vale que o ínfimo não pode ultrapassar o supremo. Assim,
o que termina a demonstração da cadeia de desigualdades.